bzoj 3884: 上帝与集合的正确用法（欧拉函数）

3884: 上帝与集合的正确用法

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Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

Sample Output

一看题觉得这题好厉害，求无穷大的数对p取模

还是冷静分析下：

先拉出三个公式

令，有

因为q为奇数，所以q和2互质，由上面第二个公式可以推出

这样就可以递归求解

因为大于2的欧拉函数一定是偶数（上面的第三个公式）所以最后一定会出现φ(q)==1的情况，

且递归次数不超过log(p)

#include<stdio.h>
#define LL long long
LL Pow(LL x, LL y, LL mod)
{LL sum = 1;while(y){if(y%2)sum = sum*x%mod;x = x*x%mod;y /= 2;}return sum;
}
LL phi(LL x)
{LL i, ans = x;for(i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){ans = ans/i*(i-1);while(x%i==0)x /= i;}}if(x!=1)ans = ans/x*(x-1);return ans;
}
LL Sech(LL p)
{LL temp, c, k;c = 0, k = 1;while(p%2==0){c++;k *= 2;p /= 2;}if(p==1)return 0;temp = phi(p);return k*Pow(2, (Sech(temp)-c%temp+temp)%temp, p);
}
int main(void)
{LL T, p;scanf("%lld", &T);while(T--){scanf("%lld", &p);printf("%lld\n", Sech(p));}return 0;
}