BZOJ 3884: 上帝与集合的正确用法 欧拉降幂
根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：
第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。
第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。
第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。
第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……
然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。
至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。
一句话题意：
Input
接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值
Output
T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值
Sample Input
3
2
3
6
Sample Output
0
1
4
HINT
对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7
Source
By PoPoQQQ
欧拉降幂的具体证明可以看 https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/81272848 和
https://www.cnblogs.com/LzyRapx/p/7738447.html
结论就是
对于这道题因为幂上是有无限个2的，所以可以直接认为是恒大与phi(c)的。一些博客直接认为欧拉降幂是第二个公式是不对的。
有兴趣可以做下这个题目链接
当p降为1的时候我们直接取膜的结果就是0，这时候再往前递归就行了。
代码比较简单。主要是了解这个定理。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
map<int,int> mp;//用来记录一些中间结果，避免重复计算。
ll Quick_pow(ll x,ll n,ll Mod){ll res = 1;while(n > 0){if(n&1)res = res*x%Mod;x = x*x%Mod;n >>= 1;}return res;
}
int euler_phi(int n){int res = n;for(int i=2;i*i<=n;++i){if(n%i == 0){res = res/i*(i-1);while(n%i == 0)n/=i;}}if(n != 1) res = res/n*(n-1);return res;
}
int solve(int p){if(mp.count(p)) return mp[p];int f=euler_phi(p);int res = Quick_pow(2LL,solve(f)%f+f,p);//第二个参数相当于是幂，所以对其%f+f，再求出该层的结果return res;
}
int main(void){mp[1] = 0;int T,p;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&p);printf("%d\n",solve(p));}return 0;
}
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