买表（【CCF】NOI Online能力测试3 入门组）

题目描述

Jimmy 到 Symbol 的手表店买手表，Jimmy 只带了 nn 种钱币，第 ii 种钱币的面额为 ki 元，张数为 ai 张。Symbol 的店里一共有 m 块手表，第 i 块手表的价格为 ti 元。

Symbol 的手表店不能找零，所以 Jimmy 只能在凑出恰好的钱数时才能购买一块手表。现在对于店里的每块手表，Jimmy 想知道他能不能凑出恰好的钱数进行购买。

输入格式

第一行两个空格分隔的整数 n 和 m 表示钱币数与手表数。

接下来 nn 行每行两个空格分隔的整数 ki 和 ai 表示钱币的面额和张数。

第 n+2 行，共 m 个用空格分隔的整数 ti，表示每块手表的价格。

输出格式

一共 m 行，对于第 i 行，如果能凑出恰好的钱数购买第 i 块手表则输出 Yes 否则输出 No，注意只有首字母大写。

输入样例

3 5
1 2
5 1
6 3
3 19 21 1 7

输出样例

No
Yes
No
Yes
Yes

样例解释

第二块手表 19=6×3+1=6×2+5+1×2，可以恰好凑出。
第四块手表 1=1×1，可以恰好凑出。
第五块手表 7=5+2×1=6×1+1，可以恰好凑出

解法1：

思路分析：此题转化为子集和问题即可解决

C++代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int x=0,q[100000010],n,m,nn=0;//n为钱币有多少种种类 ，nn为钱币总张数void FixedSum(int* a, int num, int t, int sum)
{if(sum == 0)x=1;else{if(t == num)return ;else{if(sum - a[t] >= 0)FixedSum(a, nn, t + 1, sum - q[t]) ;if(sum >= 0)FixedSum(a, nn, t + 1, sum) ;}}
}int main()
{ cin>>n>>m;int k,a;for(int i=0;i<n;i++){cin>>k>>a;for(int j=0;j<a;j++)//展开储存，如例中6，3转为6，6，6储存{q[nn]=k;nn++;}}for(int i=0;i<m;i++){int sum;cin>>sum;FixedSum(q, nn, 0, sum);if(x)cout<<"Yes"<<endl;elsecout<<"No"<<endl;x=0;}return 0;
}

解法2：

思路分析：

1.此题目可以转换为多重背包问题，然后基于二进制优化

2.什么是二进制优化？

1~n以内的数，都能够通过n进制以内的数组合得到，那我们这里用二进制（n=2）

简单来说，就是把一个数字分成（1 2 4 8.........最大数）这样下去的类型

以19为例，如果我们拆分成1,2,4,8,3

其实就是相加小于等于该数的2的幂次方（1,2,4,8）和19与和的差值3

对应到本题目，即a张面额为k的钱币，需要组合出1*k，……a*k。

构造1*k+2*k+……+2∧n+x=a*k

其中 $(a-1)*k\leq \sum_{i=1}^{n}2^i\leq a*k$ ，x=a*k- $\sum_{i=1}^{n}2^i$ 。

3.数据量太大，用bool数组可能得不到满分，我们可以用bitset

C++的 bitset 在 bitset 头文件中，它是一种类似数组的结构，它的每一个元素只能是０或１，每个元素仅用１bit空间

bitset默认构造为0，bitset[i]=1代表可以购买价值i元的手表

我们在组合时,如对于2^j来说

 for(i=500000;i>=0;i--)if(watch[i]==1) watch[i+2^j*k]=1;

这相当于

temp=watch<<j*k;//临时开辟一个数组储存移位后为1的位
watch|=temp;//再进行按位或运算，加上之前为1的位

AC的C++代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bitset<500005> watch;//默认为1,若值为1代表钱数能凑出
bitset<500005> temp;
int main()
{int n,m,i,j,a,k,t;cin>>n>>m;watch[0]=1;for(i=0;i<n;i++){cin>>k>>a;for(j=1;a>=j;j*=2){temp=watch<<j*k;watch|=temp;a-=j;}if(a*k!=0){temp=watch<<a*k;watch|=temp;} }for(i=0;i<m;i++){cin>>t;if(watch[t])cout<<"Yes"<<endl;else cout<<"No"<<endl;}return 0;
}