建设城市（city）（【CCF】NOI Online 能力测试2 入门组第三题）

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题目描述

球球是一位建筑师。一天，他收到市长的任务：建设城市。球球打算建造 2n 座高楼。为了保证城市美观，球球做出了如下计划：

球球喜欢整齐的事物。他希望高楼从左向右排成一行，编号依次为 1∼2n。
球球喜欢整数，他要求每座高楼的高度都是正整数。
由于材料限制，高楼的高度无法超过 m。
球球喜欢中间高，两边低的造型。他要求前 n 座高楼的高度不下降，后 n 座高楼的高度不上升。
球球打算选两座编号为 x,y 的高楼作为这座城市的地标。他认为只有当这两座高楼高度相等时，才会让城市变得美观。

球球把自己的想法告诉了市长。市长希望得知所有建设城市的方案数。两种方案不同，当且仅当某座高楼的高度在两个方案中不同。这个问题可难倒了球球。球球找到了你，希望你能帮他算出答案。由于答案可能很大，你只需要给出答案对 998244353 取模后的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

仅一行四个整数 m,n,x,y，变量意义见题目描述。

输出格式

输出到标准输出。

仅一行一个整数表示答案。

样例1输入

3 2 1 3

样例1输出

样例1解释

所有的方案为：{1,1,1,1}，{1,2,1,1}，{1,3,1,1}，{2,2,2,1}，{2,2,2,2}，{2,3,2,1}，{2,3,2,2}，{3,3,3,1}，{3,3,3,2}，{3,3,3,3}。

样例2输入

1000 1000 535 1477

样例2输出

295916566

思路分析：

1.只在1~4的条件下（先不考虑x,y）如果一块区域有 n 栋高楼，m 个高度可以选，则相当于 n个相同的球放入 m 个不同的盒子的方案数,由于楼的高度可以相等，则相当于n+m个相同的球放入 m 个不同的盒子的方案数,每个盒子至少放一球。由插板法可知方案数 $C_{n+m-1}^{m-1}$

2.再考虑条件5，题目没有告诉我们 x,y 是否在 n 的两侧，所以要分情况讨论

(1)case1:x≤n<y

枚举 x,y的高度。假设当前 x,y的高度为 i，则：

x 左边的 x-1个高楼高度范围为 [1,i]。
x 右边 n 左边（包含 nn）的 n-x个高楼高度范围为 [i,m]。
n 右边（不包含 n）y左边的 y−n−1 个高楼高度范围为 [i,m]。
y 右边的 2n-y个高楼高度范围为 [1,i]。

根据乘法原理，将以上四种情况相乘即可。

(2)Case 2：y≤n 或 x,y>n。

将 [x,y] 中间的高楼看成一个高楼，则相当于 $C_{n+m-1}^{m-1}*C_{n+x-y+m-1}^{m-1}$

#include<iostream>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int m,n,x,y;
long long int ans=0;int inverse(int x,int mod) {int power=mod-2;x %= mod;int num = 1;for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= mod)if(power & 1) (num *= x) %= mod;return num;
}int cn(int a,int b)//组合数计算
{int sum=1;for(int i=1;i<=b;i++){sum=sum*(a-b+i)%mod;sum=sum*inverse(i,mod)%mod;//求i模mod的逆元 }return sum;
}int main()
{cin>>m>>n>>x>>y;if(x<=n&&y>=n)//case1情况 {for(int i=1;i<=m;i++)ans+=cn(x+i-1,i-1)*cn(n-x+m-i,m-i)*cn(y-n+m-i,m-i)*cn(2*n-y+i-1,i-1)%mod;cout<<ans;}else{ans=cn(n+m-1,m-1)*cn(n+m-1-x+y,m-1)%mod;cout<<ans;}return 0;}

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