深入理解傅里叶变换的性质：实函数、卷积、相关、功率谱、频响函数

  • 1实函数傅里叶变换的性质
    • 1.1实函数傅里叶变换的性质
    • 1.2实偶函数傅里叶变换的性质
    • 1.3实奇函数傅里叶变换的性质
  • 2傅里叶变换的基本性质
    • 2.1线性
    • 2.2对称性
    • 2.3折叠性
    • 2.4尺度变换性
    • 2.5时移性
    • 2.6频移性
    • 2.7时域微分性
    • 2.8频域微分性
    • 2.9时域积分性
    • 2.10频域积分性
    • 2.11时域卷积定理
    • 2.12频域卷积定理
    • 2.13帕塞瓦尔定理
    • 详细的参考资料见：
  • 3卷积
    • 3.1卷积的定义
    • 3.2卷积的计算
    • 3.3卷积的性质
      • 3.3.1代数性质（乘积类似）
      • 3.3.2微积分性质
      • 3.3.3卷积的傅里叶变换性质
      • 详细参考
  • 4相关
    • 4.1定义
      • 4.1.1相关系数
      • 4.1.2协方差函数
      • 4.1.3自相关函数
      • 4.1.4互相关函数
      • 互相关的性质可参考
  • 5功率谱与频响函数
  • 6卷积与相关的异同（个人体会）
    • 卷积：f*g(τ\tauτ)=f(t)*g(t)=∫f(t)g(τ−t)dt\int f(t)g(\tau-t)dt\,∫f(t)g(τ−t)dt=g(t)*f(t)=g\*f(τ\tauτ)
    • 互相关：R~fg~(τ\tauτ)=∫f(t)g(t+τ)dt=∫f(t−τ)g(t)dt\int f(t)g(t+\tau)dt\,=\int f(t-\tau)g(t)dt\,∫f(t)g(t+τ)dt=∫f(t−τ)g(t)dt=R~gf~(-τ\tauτ)

1实函数傅里叶变换的性质

1.1实函数傅里叶变换的性质


所以，实函数x(t)的傅里叶变换X(w)的共轭 X*(w)=X(-w)

1.2实偶函数傅里叶变换的性质

1.3实奇函数傅里叶变换的性质

2傅里叶变换的基本性质

2.1线性

2.2对称性

2.3折叠性


由折叠性和对称性，对实函数f(t),对其傅里叶变换F（jw)的共轭F*（jw)=F(-jw)进行傅里叶变换，再除以2pi，就可得到f(t)，也可用傅里叶变换及逆变换公式进行证明。

2.4尺度变换性


时域信号沿时间轴压缩（或时间尺度扩展）a倍，则其频域信号沿频率轴扩展（或频率尺度压缩）a倍。
改性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的扩展倍数。

2.5时移性

2.6频移性

2.7时域微分性

2.8频域微分性

2.9时域积分性

2.10频域积分性

2.11时域卷积定理

2.12频域卷积定理

2.13帕塞瓦尔定理

详细的参考资料见：

链接: https://wenku.baidu.com/view/e581cb01cc17552707220887.html.

3卷积

3.1卷积的定义

3.2卷积的计算

对折、平移、积分：

3.3卷积的性质

3.3.1代数性质（乘积类似）

3.3.2微积分性质

3.3.3卷积的傅里叶变换性质

见2.11与2.12

详细参考

链接: https://blog.csdn.net/einstellung/article/details/77412903l.

4相关

4.1定义

4.1.1相关系数

相关函数是描述信号X(s),Y(t)（这两个信号可以是随机的，也可以是确定的）在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义：

称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0，则称 X与Y 不相关。相关系数越大，相关性越大，但肯定小于或者等于1.。

4.1.2协方差函数

4.1.3自相关函数

自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻s，t的取值之间的相关程度，其定义式为：

注意：这里*表示相乘。


注意：这里*表示卷积。
（1）实函数的自相关函数为偶函数Rxx(-t)=Rxx(t)，其图形对称于纵轴，其傅里叶变换=功率谱，为实偶函数，无相位。另外，根据傅里叶变换的定义，可证明Sxx（w）=X(-w)X(w)=X*(w)X(w)=|X(w)|^2。
（2）当s=t 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即
（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

4.1.4互相关函数

互相关函数是描述随机信号X(s),Y(t)在任意两个不同时刻s，t的取值之间的相关程度,其定义为：

互相关函数的上述性质在工程中具有重要的应用价值。
(1) 在混有周期成分的信号中提取特定的频率成分。
(2) 线性定位和相关测速。

互相关函数的性质
(1)Rxy（t）=Ryx（-t）
(2)对于1、2同周期的函数，相关函数具有相同的周期特性

对信号f(t)g(t)，其互相关可定义为：Rfg=f(-t)*g(t)=

注意？？，如果信号是复信号，f(t)要共轭运算后参与运算。
注意有的资料上定义的是-τ\tauτ,与本定义正好相反，值一样，只是时间正负相反。

互相关的性质可参考

链接: https://wenku.baidu.com/view/35136356f011f18583d049649b6648d7c0c7085a.html.

5功率谱与频响函数

功率谱为相关函数的傅里叶变换
Rxx（τ\tauτ）=x(-t)*x(t)=
∫x(t)x(t+τ)dt.\int x(t)x(t+\tau)dt\,.∫x(t)x(t+τ)dt.
Rxy（τ\tauτ）=x(-t)*y(t)=
∫x(t)y(t+τ)dt.\int x(t)y(t+\tau)dt\,.∫x(t)y(t+τ)dt.
上面*表示卷积

对实信号：
Sxx（w）=X(-w)X(w)=X*(w)X(w)
Sxy（w）=X(-w)Y(w)=X*(w)Y(w)
上面*表示共轭

所以频响函数：
H(w)=Sxy/Sxx
H(w)=Syy/Syx

6卷积与相关的异同（个人体会）

卷积与相关都是对函数进行点积，点积在线性空间中表示一个向量向另一个向量的投影，表示两个向量的相似程度，所以相关运算就体现了这种相似程度。
在函数空间中，函数的点积是类似的概念，傅里叶变换的本质是通过对函数与指数函数基（或者三角函数）进行点积计算得到函数在指数函数基下的投影坐标，从而将函数分解成一系列的指数函数分量的。

卷积：f*g(τ\tauτ)=f(t)*g(t)=∫f(t)g(τ−t)dt\int f(t)g(\tau-t)dt\,∫f(t)g(τ−t)dt=g(t)*f(t)=g*f(τ\tauτ)

卷积满足互换性，这是因为卷积在进行相关的点积计算前，固定f(t),将g(t)反向然后右移动τ\tauτ，这时，g(t)与f(t)对向而行，τ\tauτ为正的方向;如果固定g(t),f(t)掉头与它对向而行进行点积计算，τ\tauτ为正的方向，计算结果没有不同。

互相关：Rfg(τ\tauτ)=∫f(t)g(t+τ)dt=∫f(t−τ)g(t)dt\int f(t)g(t+\tau)dt\,=\int f(t-\tau)g(t)dt\,∫f(t)g(t+τ)dt=∫f(t−τ)g(t)dt=Rgf(-τ\tauτ)

互相关不满足互换性，这是因为，互相关计算时，固定f(t),g(t)与它同向而行，t的方向均向右，g(t)左移时τ\tauτ为正的方向，g(t)时间前移τ\tauτ与f(t)点积，如果结果较大，说明相关的信号g(t)比f(t)滞后的时间为τ\tauτ,此时，如果固定g(t)看，f(t)则是向右移动，所以计算结果一样时，τ\tauτ应该为负值。
所以Rfg(τ\tauτ)与Rgf(τ\tauτ)关于0点对称，差别只在于是g(t)滞后τ\tauτ,还是超前τ\tauτ。

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