A．信号与谱的分类

由于时域信号有不同的分类, 变换后对应的频域也有不同的谱

信号可分为模拟(连续)信号和数字(离散)信号,

连续信号变换后称为谱密度, 离散信号变换

后称为谱.

连续信号又可分为绝对可积,平方可积(能量有限),均方可积(功率有限)

绝对可积信号有傅里叶谱(线性谱)和傅里叶谱密度(线性谱密度),如时域信号单位为电压V,

则前者单位为V,后者单位为V/Hz.

均方可积信号有功率谱PS(单位为V2)和功率谱密度PSD(单位为V2/

Hz.).

平方可积信号有能量谱密度ESD(单位为V2 s /

Hz.).

注1

平方量称为功率,平方量乘秒称为能量,谱分量除以频率称为谱密度.

注2

功率谱密度另一定义(离散信号的功率谱密度)见下述,

连续信号的功率谱密度.

为连续(光滑)曲线,

离散信号的功率谱密度为不连续的阶梯形..

注3

随机信号求功率谱密度时为减少方差,可采用平均,重叠和加窗处理(Welch法).

数字信号又可分为绝对可和,平方可和,均方可和.

B.各种谱计算

1.

线性谱Linear Spectrum:

对时域离散信号作DFT(离散傅里叶变换)得到,

采用方法为FFT(快速傅里叶变换)法.X(f)=FFT(x(t))

2.

自功率谱APS=Auto Power Spectrum:

离散信号的线性谱乘其共轭线性谱

APS(f)=X(f)*conj(X(f)), conj=conjugate共轭(实部不变,虚部变符号).

3.

互功率谱 CPS=Cross Power

Spectrum::x(t)的线性谱乘y(t)的共轭线性谱

互功率谱是复数,可表示为幅值和相位或实部和虚部等.

CPS(f)=X(f)

*conj(Y(f)) Y(f)=FFT(y(t))

4.

(自)功率谱密度PSD(=Power Spectrum

Density):

PSD(f)=APS(f)/Δf Δf—频率分辨率(Hz),

自功率谱密度与自相关函数成傅立叶对应关系

故功率谱密度也称为规一化的功率谱.

5.互功率谱密度CSD=CPS(f)/Δf

A.频响函数FRF, 传递率

A1.频响函数.FRF为响应的傅里叶变换与力的傅里叶变换之比或力和响应的互谱与力

的自谱之比 后者可通过平均减少噪声,故较常用.

H(f)=X(f ) / F(f)=X(f)*conj(F(f)) / F(f)*conj(F(f))=CPS /

APS.

A2. 频响函数有三种表达形式

频响函数表达成分子多项式与分母多项式(特征多项式)之比,也称有理分式.

(两多项式求根后)

频响函数表达成极点,零点和增益ZPK形式.

频响函数表达成部分分式,也称极点留数形式,(

部分分式的分子项称为留数.),

例如:最常见的单自由度(位移)频响函数H(ω)=X(ω)/F(ω)

H = 1 / (k+(jω)

2*m+jωC) 有理分式(多项式之比)

= (1 /m )*

1/(jω-p1)(jω-p2) 极点,零点和增益ZPK形式

= R1/(jω-p1)

+ R2/(jω-p2). 部分分式(极点和留数形式)

本例特殊,

分子非多项式,无根(无零点),留数为共轭虚数(一般为共轭复数)

a.共轭极点( 分母多项式的根 )

p: p1=σ+jωd, p2=σ-jωd, J=√-1

ωd--有阻尼固有频率, ωd=ωn

*√1-ζ2

b.共轭留数R: R1=1/2j*ωd R2=

-1/2j*ωd

c.增益K: K = 1/m

计算留数可用待定系数法或(复变函数中的)留数定理.

多自由度系统中留数包含振型信息.

A3.

频响矩阵: 当N点测力,N点测响应时, 频响函数为N x

N矩阵,但独立元素只有N个,

测试时既可只测一行(如H11,H12,H13,…H1N,

即激多点,测一点);也可只测一列

(如H11,H21,H31,…HN1,即激一点,测多点)

B.

传递率(Transmissibility)

传递率为同量纲物理量傅里叶变换之比,如电压传递率,力传递率,位移传递率等,

以位移传递率为例:

Tij=Xi(f)/Xj(f)= Xj(f)*conj(Xj(f)) / Xj(f)*conj(Xj(f))=CPSij /

APSjj

式中:

Xi(f)--

位移xi的傅里叶变换, Xj(f)--

位移xj的傅里叶变换,(不测力法无频响函数,只能用传递率求振型,此时xj位置保持不变,称为参考(基准)位移.