ζ(2)的夹逼代数证明

黎曼ζ函数主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。

有关于ζ(x)函数证明，用初等证明方式是困难的，本文提供一种较为初等的代数证明方式

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证明：

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$
解：

对 $0<x<\pi/2$ 有,不等式 $sinx<x<tanx$ 恒成立，

即得 $cot^2x<\frac{1}{x^2}<cot^2x+1$ ;

令 $x=\frac{k\pi}{2m+1}\ \ \ (k=1,2...m)$

即，

$\sum_{k=1}^{m} cot^2(\frac{k\pi}{2m+1})<\frac{(2m+1)^2}{\pi^2}.\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=1}^{m} cot^2(\frac{k\pi}{2m+1})+m$

由欧拉公式 $e^{ix}=cosx+isinx$ 得,

$cosnx+isinnx=(cosx+isinx)^n$

$\Rightarrow sinnx=C_{n}^{1}cos^{n-1}xsinx-C_{n}^{3}cos^{n-3}sin^3x+......\\ =\sum_{i=0}^{[\frac{n-1}{2}]}(-1)^i C_{n}^{2i+1}cos^{n-2i-1}xsin^{2i+1}x\\=sin^nx\sum_{i=0}^{[\frac{n-1}{2}]}(-1)^i C_{n}^{2i+1}cot^{n-2i-1}x$

与本题结合即有，

$sin(2m+1)\theta=sin^{2m+1}\theta P_m(cot^2\theta)$

$P_m(x)=\sum_{i=0}^{m}(-1)^iC_{2m+1}^{2i+1}x^{m-i}$

$\Rightarrow P_m(cot^2\theta)=\frac{sin(2m+1)\theta}{sin^{2m+1}\theta}$

令 $P_m(cot^2\theta)=0$ ,得 $\theta_k=\frac{k\pi}{2m+1}\ \ \ \ k=1,2...m$

多项式零点和，可以通过韦达定理推广得到。

对任意一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ ,

有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$

即 $a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c$

推广到一元n次方程有

$a_n\prod_{i=1}^{n}(x-x_i)=\sum_{j=0}^{n}a_jx^j=0$

$a_n\prod_{i=1}^{n}(x-x_i)=a_n(x^n-\sum_{i=1}^{n}x_ix^{n-1}+.....+(-1)^n\prod_{i=1}^{n}x_i)=0$

既有结论：

$\sum_{i=1}^{n}x_i=-\frac{a_n-1}{a_n},\prod_{i=1}^{n}x_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$

那么，

$\sum_{k=1}^{m} cot^2(\frac{k\pi}{2m+1})=-\frac{-C_{2m+1}^{3}}{C_{2m+1}^{1}}=\frac{m(2m-1)}{3}$

$\Rightarrow\frac{m(2m-1)\pi^2}{3(2m+1)^2}<\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^2}<\frac{2m(m+1)\pi^2}{3(2m+1)^2}$

令 $m\rightarrow\infty$ ,即可得 $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$

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