一、符号积分

符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：

int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：

求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：

>>syms x y z %定义符号变量

>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式

F2 =

1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解

>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解

VF2 =

224.92153573331143159790710032805

二、数值积分

1.数值积分基本原理

求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

2.数值积分的实现方法

基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例：

求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。

>>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数fname

>>Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法

Isim =

0.746824180726425

IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法

IL =

0.746824133988447

三、梯形法求向量积分

trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。

>>d=0.001;

>>x=0:d:1;

>>S=d*trapz(exp(-x.^2))

S= 0.7468

或：

>>format long g

>>x=0:0.001:1; %x向量，也可以是不等间距

>>y=exp(-x.^2); %y向量，也可以不是由已知函数生成的向量

>>S=trapz(x,y); %求向量积分

S =

0.746824071499185

附：int与quad区别

int的积分可以是定积分，也可以是不定积分(即有没有积分上下限都可以积)可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3

quad是数值积分，它只能是定积分(就是有积分上下限的积分)，它是通过simpson数值积分来求得的(并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的)。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3

int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。