高等数学上：无穷小和无穷大，夹逼准则

无穷大和无穷小是很容易误解的概念，很容易认为就是很大很大的数和很小很小的数，但其实不是这样的。

无穷小定义：

无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以0为极限的函数。
由这个定义可知，无穷小本质上是一个函数，是一个在x某个变化过程中，极限为0的函数！比如：当x趋近于x0的时候，f(x)的极限为0，则称f(x)是x趋近于x0时的无穷小量
这里我们列出几个注意事项：

1.类似0.00001,1e-1000等等，这种非常非常小的数不是无穷小，因为无穷小是
极限为0的函数，而类似0.000001这种数相当于函数y = 0.0000001，它的极限仍然是
0.0000001，而不是0，所以它们一定不是无穷小！2.唯一一个无穷小常数是0，道理很简单，根据定义，0无论什么时候，极限肯定是03.由于无穷小涉及极限的概念，所以一定是在自变量的变化过程上讨论的。不能直接说
f(x)是个无穷小，要指明是在何种自变量变化范围下的无穷小。

这里有一个重要定理：limf(x) = A <====> f(x) = A + a(x) 其中a(x)是自变量这种变化下的无穷小这是一个充要条件！

我们来详细证明一下这个结论，首先是必要性

已知lim f(x) = A（假设x趋近于x0的情况下，x趋近于无穷是一样的）
我们由极限的定义，那对于任意的e > 0，存在一个X > 0, 使得Uo(x0, X)中的所有x
对应的函数值f(x)都满足|f(x) - A| < e。
然后我们现在设a(x) = f(x) - A;    那么将a(x)回代入，得|a(x)| < e
由极限定义，上述条件下满足|a(x)| < e，所以a(x)在此时x趋近于x0的时候极限为0
因此，a(x)是这种变化下的一个无穷小
即可以写成这种形式：f(x) = a(x) + A；

证完必要性后，我们来证充分性：

已知f(x) = a(x) + A，证明lim f(x) = A
同样的，a(x) = f(x) - A；那么由极限定义，最后对于任意的e > 0，使得
Uo(x0, X)中的所有x对应的函数值a(x)都满足|a(x)| < e。（因为a(x)是无穷小）
那么将a(x)替换成 f(x) - A，我们即可得，f(x)的极限为A

该定理由柯西提出，函数极限与无穷小的关系。将函数极限问题能转换成常数与无穷小的代数运算！在后面会用到

再来说说无穷大！

这里也分为x趋近于有限值，和趋近于无穷的两种情况。我们就讨论趋近于无穷的情况吧，另一种道理差不多。
那么这种情况下，无穷大的定义为：对于任意的一个M > 0，都存在一个X > 0，使得所有x > X的f(x)有|f(x)| > M，那么这个函数在这种变化下，称为一个无穷大！
这里我们发现，无穷大的定义和函数的无界定义极其相似！ 。确实！两者非常相似，但有一个很大的区别。

无界只要求，存在一个绝对值比M还大的f(x)即可
而无穷大，它要求在这个范围内的所有x对应的| f(x) |都要大于M。
其实很好理解，无穷大，当然是要每个点的函数值都无穷大，而无界，只需要一个点函数值无穷大即可。

因此，无界函数不一定是无穷大，但无穷大一定是无界函数！
注意：无穷大极限是不存在的！它仅仅是一种趋势。不要忘记了最初极限的定义。

无穷大和无穷小的关系

两者是有关系的。在自变量某一个变化过程下，如果f(x)是一个无穷小，那么它的倒数就是一个无穷大。

无穷小和无穷大的性质

了解定义后，以下的结论都是比较显然的：
暂时稍稍了解一下即可，无穷小与有界函数乘积的极限还是无穷小。道理很简单，无穷小相当于一个0，而有界函数肯定不是无穷大，所以两者相乘的极限也是0.
无穷小乘无穷小也是无穷小
无穷小加无穷小也是无穷小

无穷大乘无穷大也是无穷大
无穷大加无穷大不是无穷大！（如e^x + -e^x；因为无穷大可以是负无穷！）
无穷大和有界函数乘积的极限不一定是无穷大！因为有界函数可能是0！

夹逼准则

道理没什么难的，证明也可以用极限的定义证，用图就一目了然了

关键是实际运用中，放缩是很有技巧性的，这个以后再研究，现在暂且只谈基本概念。

第一重要极限

第一重要极限是由夹逼准则得到的一个常用极限
如下图：

看了书上用夹逼准则证明这个极限是1，还用到了几何关系来找不等式，真的是很厉害了。所以说夹逼准则其实还是很不好用的，要找到很好的放缩是很困难的。