微分中值定理——（罗尔定理、拉格朗日定理、导数极限定理、达布定理、柯西定理）

定理1（罗尔(Rolle)中值定理）

若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间[a,b]上连续；

（ii）f在开区间(a,b)上可导；

（iii）f(a)=f(b)；

则在(a,b)上至少存在一点 $\xi$ 使得 $f'(\xi )=0.(1)$

罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平直线，如图所示；

注：定理中的三个条件缺一不可。

定理2（拉格朗日(Lagrange)中值定理）

若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间[a,b]上连续；

（ii）f在开区间(a,b)上可导；

则在(a,b)上至少存在一点 $\xi$ 使得 $f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.(2)$

显然，特别当f(a)=f(b)时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。

拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点 $P(\xi ,f(\xi ))$ 该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，如图所示；

公式(2)称为拉格朗日公式.

拉格朗日公式还有几种等价表示形式：

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),a<\xi<b;$

$f(b)-f(a)=f'(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1;$

$f(a+h)-f(a)=f'(a+\theta h)h,0<\theta <1;$

推论1：若函数f在区间I上可导，且 $f'(x)\equiv 0,x\in I,$ 则f为I上的一个常量函数。

推论2：若函数f和g均在区间I上可导，且 $f'(x)\equiv g'(x),x\in I,$ 则在区间I上f(x)与g(x)只相差某一常数，即f(x)=g(x)+c (c为某一常数).

推论3（导数极限定理）

设函数f在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 上连续，在 $U^{\circ}(x_0)$ 内可导，且极限 $\lim_{x\to x_0}f'(x)$ 存在，则f在点 $x_0$ 可导，且 $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}f'(x).$

导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。

定理3

设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增（减）的充要条件是 $f'(x)\geqslant 0(\leqslant 0).$

定理4

若函数f在(a,b)上可导，则f在(a,b)上严格递增（递减）的充要条件是：

（i）对一切 $x\in (a,b)$ 有 $f'(x)\geqslant 0(f'(x)\leqslant 0);$

（ii）在(a,b)的任何子区间上 $f'(x)\not\equiv 0.$

推论：设函数在区间I上可微，若 $f'(x)>0(f'(x)<0),$ 则f在I上严格递增（严格递减）。

定理5（达布(Darboux)定理）

若函数f在[a,b]上可导，且 $f'_+(a)\neq f'_-(b),$ k为介于 $f'_+(a), f'_-(b)$ 之间任一实数，则至少存在一点 $\xi \in (a,b),$ 使得 $f'(\xi)=k.$

有时定理5称为导数的介值定理.

推论：设函数f(x)在区间I上满足 $f'(x)\neq 0$ 那么f(x)在区间I上严格单调。

定理6（柯西中值定理）

设函数f和g满足

（i）在[a,b]上都连续；

（ii）在(a,b)上都可导；

（iii） $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 不同时为零；

（iv） $g(a)\neq g(b),$

则存在 $\xi \in (a,b),$ 使得 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.(3)$

柯西定理的几何意义：把f,g这两个函数写作以x为参量的参数方程 $\left\{\begin{matrix}u=g(x)\\ v=f(x) \end{matrix} \right$ 在uOv平面上表示一段曲线，如图所示，由于(3)式右边的 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，而（3）式左边的 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{dv}{du}\mid _{x=\xi}$ 则表示该曲线上与 $x=\xi$ 相对应的一点 $C(g(\xi),f(\xi))$ 处的切线的斜率，因此（3）式即表示上述切线与弦AB互相平行。

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