二元函数泰勒公式例题_高等数学期末总复习 DAY 5. 罗尔定理证明题拉格朗日、柯西中值定理泰勒公式及麦克劳林公式...

2024-05-08 09:00:52

DAY 5.

DAY 5.
- 1.罗尔定理
- 2.拉格朗日定理
- 3.柯西中值定理
- 4.泰勒公式及麦克劳林公式

1.罗尔定理

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

例题1

若方程

有一个正根，

，试证方程

必有一个小于

正根。

解：

令

因为原方程有一个

的正根，所以有

= 0

而：

由罗尔定理可知:必存在一

使得

所以

当

时原式证毕

2.拉格朗日定理

拉格朗日定理其实是罗尔定理的一种推广

如果函数

满足：1) 在闭区间[a,b]上连续；2) 在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少有一点$xi(a<xi

例题2

设 a > b >0, n>1 证明$nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n

解：设

由拉格朗日定理可得：

=

因为：

所以

且 n > 1

可得：

3.柯西中值定理

柯西中值定理是前两者的进一步推广，期末不常考，因为用柯西定理证明的题，用罗尔和拉格朗日都可以证明出来

柯西定理就是当我们把拉格朗日定理里面的

看成

,

看成

获得两个参数方程

得到：

例题3

设 b>a>0 若

在【a,b】上连续，在（a,b）上可导，求证

使得

解：

设

由柯西中值定理可知：

证毕

4.泰勒公式及麦克劳林公式

当泰勒公式其中的

的时候就变成了麦克劳林公式

有两个余项：

要记住一些常用函数的泰勒公式

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