高等数学期末总复习 DAY 5. 罗尔定理证明题拉格朗日、柯西中值定理泰勒公式及麦克劳林公式

DAY 5.

文章目录

DAY 5.
- 1.罗尔定理
- 2.拉格朗日定理
- 3.柯西中值定理
- 4.泰勒公式及麦克劳林公式

1.罗尔定理

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。

例题1

若方程 a0xn+a1xn−1+...+an−1x=0a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x = 0a0xn+a1xn−1+...+an−1x=0有一个正根，x=x0x = x_0x=x0，试证方程 a0nxn−1+a1(n−1)xn−2+...+an−1=0a_0nx^{n-1}+a_1(n-1)x^{n-2}+...+a_{n-1} = 0a0nxn−1+a1(n−1)xn−2+...+an−1=0 必有一个小于x0x_0x0正根。

解：

令 f(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1xf(x) = a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}xf(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x

因为原方程有一个x=x0x = x_0x=x0的正根，所以有

f(x0)=a0x0n+a1x0n−1+...+an−1x0f(x_0) = a_0x_0{^n}+a_1x_0{^{n-1}}+...+a_{n-1}x_0f(x0)=a0x0n+a1x0n−1+...+an−1x0 = 0

而：f(0)=a00n+a10n−1+...+an−10=0f(0) = a_00^n+a_10^{n-1}+...+a_{n-1}0 = 0f(0)=a00n+a10n−1+...+an−10=0

由罗尔定理可知:必存在一 ξ∈(0,x0)\xi \in (0,x_0)ξ∈(0,x0) 使得f′(ξ)=0f'(\xi) = 0f′(ξ)=0

所以 f′(ξ)=a0nξn−1+a1(n−1)ξn−2+...+an−1=0f'(\xi) = a_0n\xi^{n-1}+a_1(n-1)\xi^{n-2}+...+a_{n-1} = 0f′(ξ)=a0nξn−1+a1(n−1)ξn−2+...+an−1=0

当ξ=x\xi = xξ=x时原式证毕

2.拉格朗日定理

拉格朗日定理其实是罗尔定理的一种推广

如果函数f(x)f(x)f(x)满足：1) 在闭区间[a,b]上连续；2) 在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)\xi(a<\xi<b)ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b) - f(a) = f'(\xi) (b-a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)成立。

例题2

设 a > b >0, n>1 证明nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <na^{n-1}(a-b)nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)

解：设F（x）=xnF（x） = x^nF（x）=xn

由拉格朗日定理可得：

F(a)−F(b)=an−bnF(a)-F(b) = a^n - b^nF(a)−F(b)=an−bn = F′(ξ)(a−b)F'(\xi) (a-b)F′(ξ)(a−b)

因为：b<ξ<ab<\xi<ab<ξ<a

所以bn−1(a−b)<an−bn<an−1(a−b)b^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <a^{n-1}(a-b)bn−1(a−b)<an−bn<an−1(a−b)

且 n > 1

可得：nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n <na^{n-1}(a-b)nbn−1(a−b)<an−bn<nan−1(a−b)

3.柯西中值定理

柯西中值定理是前两者的进一步推广，期末不常考，因为用柯西定理证明的题，用罗尔和拉格朗日都可以证明出来

柯西定理就是当我们把拉格朗日定理里面的 yyy 看成 f(x)f(x)f(x) , xxx 看成g(x)g(x)g(x) 获得两个参数方程

{y=f(x)x=g(x)\begin{cases} y = f(x) \\x = g(x) \\ \end{cases}{y=f(x)x=g(x)

得到： f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)

例题3

设 b>a>0 若f(x)f(x)f(x)在【a,b】上连续，在（a,b）上可导，求证 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in (a,b)∃ξ∈(a,b) 使得f(b)−f(a)=ξf′(ξ)baf(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \frac{b}{a}f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ab

解：

设 g(x)=ln⁡x,f(x)g(x) = \ln x,f(x)g(x)=lnx,f(x)

由柯西中值定理可知：

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)=f′(ξ)1ξ\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)=ξ1f′(ξ)

⇒\Rightarrow⇒ f(b)−f(a)=f′(ξ)1ξ∗g(b)−g(a)f(b)-f(a) = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}*g(b)-g(a)f(b)−f(a)=ξ1f′(ξ)∗g(b)−g(a)

⇒\Rightarrow⇒ f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ln⁡baf(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \ln{\frac{b}{a}}f(b)−f(a)=ξf′(ξ)lnab 证毕

4.泰勒公式及麦克劳林公式

当泰勒公式其中的x0=0x_0 = 0x0=0的时候就变成了麦克劳林公式

有两个余项：

要记住一些常用函数的泰勒公式