每天进步一点点【图的深度优先搜索与广度优先搜索】

图是一种数据结构，其中节点可以具有零个或多个相邻元素。两个节点之间的连接称为边。节点也可以称为顶点。

图分为三种：无向图、有向图、带权图

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵的行和列表示的是1……n个点。邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在的，会造成空间的一定损失。

邻接表

连接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

说明：

标号为0的节点的相关联的节点为1，2，3，4

标号为1的节点为0，4

标号为2的节点的相关联的节点为0，4，5

……

代码实现图结构

/*** 邻接矩阵表示图* @author sixiaojie* @date 2022-01-07-19:05*/
public class Graph {/** 存储顶点集合 */private ArrayList<String> vertexList;/** 存储图对应的邻接矩阵 */private int[][] edges;/** 表示边的数目 */private int numOfEdges;public static void main(String[] args) {// 顶点个数int n = 5;String[] vertexs = {"A","B","C","D","E"};Graph graph = new Graph(n);// 添加顶点for (String vertexValue : vertexs) {graph.insertVertex(vertexValue);}// 添加边 A-B A-C B-C B-D B-Egraph.insertEdge(0,1,1);// A-Bgraph.insertEdge(0,2,1);// A-Cgraph.insertEdge(1,2,1);// B-Cgraph.insertEdge(1,3,1);// B-Dgraph.insertEdge(1,4,1);// B-E// 显示graph.showGraph();}/*** 构造器*/public Graph(int n) {// 初始化矩阵和vertexListedges = new int[n][n];vertexList = new ArrayList<String>(n);numOfEdges = 0;}/*** 插入顶点* @param vertex*/public void insertVertex(String vertex){vertexList.add(vertex);}/*** 添加边* @param v1 第一个顶点对应的下标* @param v2 第二个顶点对应的下标* @param weight 权值*/public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){edges[v1][v2] = weight;edges[v2][v1] = weight;numOfEdges ++ ;}/*** 返回顶点个数* @return*/public int getNumOfVertex(){return vertexList.size();}/*** 返回边的数目* @return*/public int getNumOfEdges(){return numOfEdges;}/*** 返回顶点i（下标）对应的数据0->'A',1->'B',2->'C'* @param index* @return*/public String getValueByIndex(int index){return vertexList.get(index);}/*** 返回v1，v2的权值* @param v1* @param v2* @return*/public int getWeiht(int v1, int v2){return edges[v1][v2];}/*** 显示对应的矩阵*/public void showGraph(){for (int[] link : edges) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}
}

图的遍历

图的遍历是指，从给定图中任意指定的顶点（称为初始点）出发，按照某种搜索方法沿着图的边访问图中的所有顶点，使每个顶点仅被访问一次。遍历过程中得到的顶点序列称为图遍历序列。

图的遍历过程中，根据搜索方法的不同，又可以划分为两种搜索策略：

深度优先搜索
广度优先搜索

深度优先搜索（DFS，Depth First Search）

深度优先搜索，从起点出发，从规定的方向中选择其中一个不断地向前走，直到无法继续为止，然后尝试另外一种方向，直到最后走到终点。就像走迷宫一样，尽量往深处走。

DFS 解决的是连通性的问题，即，给定两个点，一个是起始点，一个是终点，判断是不是有一条路径能从起点连接到终点。

假设我们有这么一个图，里面有A、B、C、D、E、F、G、H 8 个顶点，点和点之间的联系如下图所示，对这个图进行深度优先的遍历。

依赖栈（Stack），特点是后进先出（LIFO）。

第一步，选择一个起始顶点，例如从顶点 A 开始。把 A 压入栈，标记它为访问过（用红色标记），并输出到结果中。

第二步，寻找与 A 相连并且还没有被访问过的顶点，顶点 A 与 B、D、G 相连，而且它们都还没有被访问过，我们按照字母顺序处理，所以将 B 压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。

第三步，现在我们在顶点 B 上，重复上面的操作，由于 B 与 A、E、F 相连，如果按照字母顺序处理的话，A 应该是要被访问的，但是 A 已经被访问了，所以我们访问顶点 E，将 E 压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。

第四步，从 E 开始，E 与 B、G 相连，但是B刚刚被访问过了，所以下一个被访问的将是G，把G压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。

第五步，现在我们在顶点 G 的位置，由于与 G 相连的顶点都被访问过了，类似于我们走到了一个死胡同，必须尝试其他的路口了。所以我们这里要做的就是简单地将 G 从栈里弹出，表示我们从 G 这里已经无法继续走下去了，看看能不能从前一个路口找到出路。

如果发现周围的顶点都被访问了，就把当前的顶点弹出。

第六步，现在栈的顶部记录的是顶点 E，我们来看看与 E 相连的顶点中有没有还没被访问到的，发现它们都被访问了，所以把 E 也弹出去。

第七步，当前栈的顶点是 B，看看它周围有没有还没被访问的顶点，有，是顶点 F，于是把 F 压入栈，标记它为访问过，并输出到结果中。

第八步，当前顶点是 F，与 F 相连并且还未被访问到的点是 C 和 D，按照字母顺序来，下一个被访问的点是 C，将 C 压入栈，标记为访问过，输出到结果中。

第九步，当前顶点为 C，与 C 相连并尚未被访问到的顶点是 H，将 H 压入栈，标记为访问过，输出到结果中。

第十步，当前顶点是 H，由于和它相连的点都被访问过了，将它弹出栈。

第十一步，当前顶点是 C，与 C 相连的点都被访问过了，将 C 弹出栈。

第十二步，当前顶点是 F，与 F 相连的并且尚未访问的点是 D，将 D 压入栈，输出到结果中，并标记为访问过。

第十三步，当前顶点是 D，与它相连的点都被访问过了，将它弹出栈。以此类推，顶点 F，B，A 的邻居都被访问过了，将它们依次弹出栈就好了。最后，当栈里已经没有顶点需要处理了，我们的整个遍历结束。

广度优先搜索（BFS，Breadth First Search）

直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。假设我们有这么一个图，里面有A、B、C、D、E、F、G、H 8 个顶点，点和点之间的联系如下图所示，对这个图进行深度优先的遍历。

依赖队列（Queue），先进先出（FIFO）。

一层一层地把与某个点相连的点放入队列中，处理节点的时候正好按照它们进入队列的顺序进行。

第一步，选择一个起始顶点，让我们从顶点 A 开始。把 A 压入队列，标记它为访问过。

第二步，从队列的头取出顶点 A，打印输出到结果中，同时将与它相连的尚未被访问过的点按照字母大小顺序压入队列，同时把它们都标记为访问过，防止它们被重复地添加到队列中。

第三步，从队列的头取出顶点 B，打印输出它，同时将与它相连的尚未被访问过的点（也就是 E 和 F）压入队列，同时把它们都标记为访问过。

第四步，继续从队列的头取出顶点D，打印输出它，此时我们发现，与 D 相连的顶点 A 和 F 都被标记访问过了，所以就不要把它们压入队列里。

第五步，接下来，队列的头是顶点 G，打印输出它，同样的，G 周围的点都被标记访问过了。我们不做任何处理。

第六步，队列的头是 E，打印输出它，它周围的点也都被标记为访问过了，我们不做任何处理。

第七步，接下来轮到顶点 F，打印输出它，将 C 压入队列，并标记 C 为访问过。

第八步，将 C 从队列中移出，打印输出它，与它相连的 H 还没被访问到，将 H 压入队列，将它标记为访问过。

第九步，队列里只剩下 H 了，将它移出，打印输出它，发现它的邻居都被访问过了，不做任何事情。

社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决，因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边数为 3 的顶点，也就是三度好友关系。