一、问题描述

二、算法简介

三、算法步骤

四、评估函数

五、参考资料

六、源代码（Java实现）

一、问题描述

利用A*算法进行表1到表2的转换，要求空白块移动次数最少。

转换规则为：空白块只可以与上下左右四个方向的相邻数字交换。

表1 起始状态表2 目标状态

二、算法简介

A*算法是一种在图形平面上，有多个节点的路径，求出最低通过成本的算法。该算法综合了Best-First Search和Dijkstra算法的优点：在进行启发式搜索提高算法效率的同时，基于评估函数计算损失，保证找到一条最优路径。

算法能否找到最优解的关键在于评估函数的选择，A*算法的评估函数表示为：f(n) = g(n) + h(n)

f(n) 是从初始状态经由状态n到目标状态的代价估计

g(n) 是在状态空间中从初始状态到状态n的实际代价

h(n) 是从状态n到目标状态的最佳路径的估计代价

例如在8数码问题中，g(n) 表示状态空间树中搜索的层数，h(n) 表示状态n与目标状态中元素位置不同的元素个数。

三、算法步骤

设定两个集合，open集，close集

1. 将起始点加入open集（设置父亲节点为空）

2. 在open集中选着一个f(n)值最小的节点作为当前节点

2.1 将当前节点从open集中移除，添加到close集

2.2 如果当前节点为终点节点，那么结束搜索

2.3 处理当前节点的所有邻接节点，规则如下：

如果不在open集中，那么就将其添加到open集，并将该节点的父节点为当前节点

如果已经添加到open集中，重新计算f(n)值，如果f(n)值小于先前的f(n)值，那么就更新open集中相应节点的f(n)

如果该节点不可通过或者已经被添加到close集，那么不予处理

3、如果open集不为空，那么转到步骤2继续执行。

四、评估函数

1. f(n) = 状态n状态空间树中的搜索深度 + 状态n与目标状态不同的元素个数

效果：与8数码问题使用了相同的评估函数，大概跑了30W步无法求出解

评价：效果极差，15数码问题的状态空间树要远复杂于8 数码问题，且15数码问题中空白块的移动更为复杂，此评估函数不适用。

2. f(n) = 状态n状态空间树中的搜索深度 + 状态n与目标状态各个位置数字偏差的绝对值

效果：随着搜索的进行，空白块的移动集中在表格上部，表格下部几乎不移动，无法求出解

评价：因为下部数字较大，移动后差值较大造成评估值较大，因此搜索集中在了数值较小的部分，效果很差。

3. f(n) = 状态n状态空间树中的搜索深度 + 状态n与目标状态各个元素的路径差值（一维数组各元素的距离差之和）

效果：空白块最终移动55步得到目标状态。

评价：效果比较理想，但h(n)还可继续优化。

4. f(n) = 状态n状态空间树中的搜索深度 + 状态n与目标状态各个元素的曼哈顿距离

效果：空白块最终移动41步得到目标状态。

评价：效果理想。

实际上，1和2的评估函数效果大致相同，都将搜索局限在了一部分导致无法计算出问题的解。3实际是以一维数组各元素的距离差之和估计状态n到目标状态的曼哈顿距离，但此估计方式和计算平面两点的曼哈顿距离存在较大误差，因此只求解出可行解。

五、参考资料

A*算法详解，看完后全懂了

启发式搜索浅谈，解决八数码问题

六、源代码（Java实现）

Github地址：A*算法求解15数码问题

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