漫步数学分析二十八——狄利克雷与阿贝尔测试

在我们判断一致收敛的时候，某些情况下魏尔斯特拉斯M测试会失效，为此挪威数学家尼尔斯阿贝尔(Niels Abel)以及狄利克雷(Dirichlet)分别提出了两种测试方法，这些方法对许多实例都是非常有用的，尤其是研究傅里叶与幂级数的时候，当我们碰到一致收敛却不是绝对收敛的时候，这些方法非常重要。

定理13\textbf{定理13}(阿贝尔测试) 令A⊂Rm,φn:A→RA\subset R^m,\varphi_n:A\to R是递减的函数序列；即对每个x∈A,φn+1(x)≤φn(x)x\in A,\varphi_{n+1}(x)\leq\varphi_n(x)。假设有一个常数MM 使得对所有的x∈A,nx\in A,n，不等式|φn(x)|≤M|\varphi_n(x)|\leq M成立，如果Σ∞n=1fn(x)\Sigma_{n=1}^\infty f_n(x)在AA上一致收敛，那么Σ∞n=1φn(x)fn(x)\Sigma_{n=1}^\infty\varphi_n(x)f_n(x)也一致收敛。

如果我们取φn(x),fn\varphi_n(x),f_n为常函数，那么就得到一般技术的测试，如果φn\varphi_n是递增的，我们可以用类似的测试方法，只需要将其应用到−φn-\varphi_n上即可。相关的方法就是下面的狄利克雷测试。

定理14\textbf{定理14}(狄利克雷测试) 对序列fn:A⊂Rm→Rf_n:A\subset R^m\to R，令sn(x)=Σnm=1fm(x)s_n(x)=\Sigma_{m=1}^n f_m(x)，假设有一个常数MM使得对所有的x∈A,nx\in A,n，不等式|sn(x)|≤M|s_n(x)|\leq M成立，令gn:A⊂Rm→Rg_n:A\subset R^m\to R是gn→0g_n\to 0(一致)，gn≥0,gn+1≤gn(x)g_n\geq 0,g_{n+1}\leq g_{n}(x)，那么Σ∞n=1fn(x)gn(x)\Sigma_{n=1}^\infty f_n(x)g_n(x) 在AA上一致收敛。

例如，考虑交错级数Σ(−1)ngn(x)\Sigma(-1)^ng_n(x)，其中gn≥0,gn(x)→0g_n\geq 0,g_n(x)\to 0(一致)并且gn+1≤gng_{n+1}\leq g_n。令fn(x)=(−1)nf_n(x)=(-1)^n，那么|sn(x)|≤1|s_n(x)|\leq 1故Σ(−1)ngn(x)\Sigma(-1)^ng_n(x)一致收敛。注意，作为特殊情况，递减到零的交错级数是收敛的。

注意，这些定理虽然相似，但却是不一样的。定理13中φn\varphi_n的条件没有说明φn\varphi_n一致收敛，另外，定理13中我们也没有要求φn≥0\varphi_n\geq 0。这些定理的证明需要用到阿贝尔部分和公式，会在后面文章给出。

例1：\textbf{例1：}说明Σ∞1(sinnx)/n\Sigma_{1}^\infty(\sin nx)/n在[δ,π−δ],δ>0[\delta,\pi-\delta],\delta>0上一致收敛。

解：\textbf{解：}我们想在fn(x)=sinnx,gn(x)=1/nf_n(x)=\sin nx,g_n(x)=1/n上应用定理14，唯一的假设是|Σnl=1fl(x)|≤M|\Sigma_{l=1}^nf_l(x)|\leq M，这个假设不太明显，为了我们需要介绍下面的方法。将函数写成

2sin(lx)sin(12x)=cos[(l−12)x]−cos[(l+12)x]

2\sin(lx)\sin(\frac{1}{2}x)=\cos[(l-\frac{1}{2})x]-\cos[(l+\frac{1}{2})x]

并且从l=1,…,nl=1,\ldots,n进行相加得到

2sin(12x)(sinx+⋯+sinnx)=cos12x−cos(n+12)x≤2

\begin{align*} 2\sin(\frac{1}{2}x)(\sin x+\cdots+\sin nx) &=\cos\frac{1}{2}x\\ &-\cos(n+\frac{1}{2})x\\ &\leq 2 \end{align*}

所以

sinx+⋯+sinnx≤1|sin12x|

\sin x+\cdots+\sin nx\leq\frac{1}{|\sin\frac{1}{2}x|}

这就是Σnl=1fl(x)\Sigma_{l=1}^nf_l(x)的边界。只要sinx/2\sin x/2非零，那么边界就是有效的。例如，在[δ,π−δ][\delta,\pi-\delta] 上我们就得到有效的边界。注意这里的讨论相比MM测试比较脆弱。

例2：\textbf{例2：}说明Σ∞1(−1)ne−nx/n\Sigma_1^\infty(-1)^ne^{-nx}/n在[0,∞)[0,\infty)上一致收敛。

解：\textbf{解：}这次我们利用定理13，令φn(x)=e−nx\varphi_n(x)=e^{-nx}，对于x≥0,φnx\geq0,\varphi_n是递减的且|e−nx|≤1|e^{-nx}|\leq1。我们已经知道Σ∞1(−1)n/n\Sigma_1^\infty (-1)^n/n收敛，所以根据阿贝尔定理，级数一致收敛。

例3：\textbf{例3：}令

f(x)=∑1∞(−1)nne−nx

f(x)=\sum_1^\infty\frac{(-1)^n}{n}e^{-nx}

说明ff是连续的。

解：\textbf{解：}从例2以推论1可以立马得出结论。

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