漫步数学分析二十六——积分方程与不动点
在许多物理问题中，我们会遇到积分方程；他们的形式如下
\begin{equation} f(x)=a+\int_0^x k(x,y)f(y)dy\tag1 \end{equation}
其中 a=f(0),ka=f(0),k已经给定，我们假设 kk是连续的。
例如f(x)=aexf(x)=ae^x就是微分方程 df/dx=f(x)df/dx=f(x)的解，而微分方程与
f(x)=a+\int_0^x f(y)dy
是一样的。
我们可以用Arzela-Ascoli定理来分析方程1，然而目前我们只考虑满足某些特殊假设的情况，这样的话下面的定理就是可用的。
定理10\textbf{定理10}(压缩映射原理(Contraction Mapping Principle))令T:ℓb(A,Rm)→ℓb(A,Rm)T:\ell_b(A,R^m)\to\ell_b(A,R^m)是一个给定的映射，且满足存在一个常数λ,0≤λ<1\lambda,0\leq\lambda 使得对所有的f,g∈ℓb(A,Rm)f,g\in\ell_b(A,R^m)
\Vert T(f)-T(g)\Vert\leq\lambda\Vert f-g\Vert
那么TT有一个唯一的不动点(fixed point)；即存在唯一的一个点f0∈ℓb(A,Rm)f_0\in\ell_b(A,R^m)使得T(f0)=f0T(f_0)=f_0。
注意：这个证明对任何完备度量空间都是有效的，所有TT的条件可以看成d(T(x),T(y))≤λd(x,y)d(T(x),T(y))\leq\lambda d(x,y)。这样的映射TT称为压缩(contraction)；缩放因子为λ<1\lambda。
证明的方法叫做逐次逼近(successive approximations)，我们从任意的f∈ℓbf\in\ell_b开始然后形成序列
f,T(f),T^2(f)=T(T(f)),T^3(f)=T(T(T(f))),\ldots
接下里我们说明这个序列是柯西序列，这样的话它就收收敛到ℓb\ell_b中并且极限函数就是要求的解。这个方法在构造上非常有用，我们可以逐次计算逼近序列的元素，另外如果我们从解出发，或者在迭代过程中幸运地遇到解的话，这个序列就停止了。
定理10的应用\textbf{定理10的应用} 如果supx∈[0,r]∫x0|k(x,y)|dy=λ<1\sup_{x\in[0,r]}\int_0^x|k(x,y)|dy=\lambda，那么方程1在[0,r][0,r]上有唯一的解。
实际上，将T(f)T(f)定义成
T(f)(x)=a+\int_0^x k(x,y)f(y)dy
那么方程1的解就是TT的不动点，反之亦然。为了应用定理10，我们必须确认TT是一个压缩：∥T(f)−T(g)∥≤λ∥f−g∥\Vert T(f)-T(g)\Vert\leq\lambda\Vert f-g\Vert，此时A=[0,r],m=1A=[0,r],m=1。接下来
\begin{align*} \Vert T(f)-T(g)\Vert &=\sup_{x\in[0,r]}|T(f)(x)-T(g)(x)|\\ &=\sup_{x\in[0,r]}\left|\int_0^x k(x,y)[f(y)-g(y)]dy\right|\\ &\leq\left(\sup_{x\in[0,r]}\int_0^x|k(x,y)|dy\right)\Vert f-g\Vert\\ &=\lambda|f-g| \end{align*}
其中|f(y)−g(y)|≤∥f−g∥|f(y)-g(y)|\leq\Vert f-g\Vert是一个常数，因此TT 是一个压缩，故有唯一的一个不动点，也就是要求的解。
随后我们会给出该方法更多的应用，目前我们需要认识到这个方法在微分与积分方程理论中非常重要。
例1：\textbf{例1：}给出一个完备度量空间XX与映射T:X→XT:X\to X，该映射满足d(T(x),T(y))≤d(x,y)d(T(x),T(y))\leq d(x,y)但是没有唯一不动点的实例。
解：\textbf{解：} 令X=RX=R，且满足通常的距离d(x,y)=|x−y|d(x,y)=|x-y|。令T(x)=x+1T(x)=x+1，显然，没有一个xx满足x=x+1x=x+1，但是|T(x)−T(y)|=|x−y||T(x)-T(y)|=|x-y|。
这个例子说明定理10中的λ<1\lambda是必不可少的，λ=1\lambda=1不满足要求。
例2：\textbf{例2：}说明将逐次近似方法应用到f(x)=1+∫x0f(y)dyf(x)=1+\int_0^x f(y)dy上将产生通常的形式exe^x。
解：\textbf{解：}我们首先从0开始，因为T(g)=1+∫x0g(y)dyT(g)=1+\int_0^x g(y)dy，所以可得：
\begin{align*} T(0)&=1;\\ T^2(0)=T(T(0))&=1+\int_0^x dy=1+x;\\ T(T^2(0))&=1+\int_0^x(1+y)dy=1+x+\frac{x^2}{2};\\ T(T^3(0))&=1+\int_0^x\left(1+y+\frac{y^2}{2}\right)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!};\\ \vdots\\ T^n(0)&=1+x+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \end{align*}
所以这个序列收敛到exe^x。
例3：\textbf{例3：}令k(x,y)=xe−xyk(x,y)=xe^{-xy}，在哪个区间[0,r][0,r]上，文中的方法可以保证方程1有解？
解：\textbf{解：}估计λ\lambda并核对λ<1\lambda。
\begin{align*} \lambda &=\sup_{x\in[0,r]}\int_0^x xe^{-xy}dy\\ &=\sup_{x\in[0,r]}(1-e^{-x^2})=1-e^{-r^2} \end{align*}
那么我们在任意区间[0,r][0,r]上可得到唯一解。
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