漫步数学分析二十—

有时候，对连续的定义进行一些变形是非常有用的。这就是我们要介绍的一致连续函数(uniformly continuous function)，精确的定义如下。

定义3\textbf{定义3} 令f:A→Rm,B⊂Af:A\to R^m,B\subset A，我们说ff 在集合BB上一致连续，如果对每个ε>0\varepsilon>0，存在δ>0\delta>0使得x,y∈Bx,y\in B，并且d(x,y)<δd(x,y)意味着d(f(x),f(y))<εd(f(x),f(y))。

这个定义与连续类似，除了给定ε\varepsilon后，选择的δ\delta必须对所有的x,yx,y都满足。对于连续而言，我们给定ε>0\varepsilon>0和一个值x0x_0后，然后选择所需的δ\delta。很明显，如果ff是一致连续的，那么ff就是连续的。

例如，考虑f:R→R,f(x)=x2f:R\to R,f(x)=x^2，ff是连续的，但不是一致连续。事实上，给定ε>0,x0>0\varepsilon>0,x_0>0，我们给出的δ>0\delta>0至少要比ε/(2x0)\varepsilon/(2x_0)要小，所以如果我们选择的x0x_0比较大，δ\delta必须要小，无法找出对所有x0x_0都满足的δ\delta。这个现象在紧集上就不会发生，也就是下面定理要介绍的内容。

定理7\textbf{定理7} 令f:A→Rmf:A\to R^m是连续的且K⊂AK\subset A 是一个紧集，那么ff在KK上是一致连续的。

定理7中仅仅用有界集是不行的，考虑非紧集(0,1](0,1]，令f(x)=1/xf(x)=1/x，那么如果我们可以证明ff是连续的，但不是一致连续的。当然，我们不可能令ff在紧集[0,1]上连续，因为在该集合上，函数无界的。

另一种判别一致连续的准则会在下面的例2中给出。

例1：\textbf{例1：}令f:(0,1]→R,f(x)=1/xf:(0,1]\to R,f(x)=1/x，说明ff在[a,1][a,1]上一致连续，其中a>0a>0。

解：\textbf{解：}因为[a,1][a,1]是紧集，所以根据定理7立即可以得出结论。

例2：\textbf{例2：}令f:(a,b)→Rf:(a,b)\to R是可微的，假设|f′(x)|≤M|f^{'}(x)|\leq M，这里，a,ba,b可能是±∞\pm\infty，f′f^{'}表示ff的导数，说明ff在(a,b)(a,b)上一致连续。

解：\textbf{解：}一致连续的定义要求我们用|x−y||x-y|来估计|f(x)−f(y)||f(x)-f(y)|，这就启发我们用均值定理。在x,yx,y之间存在x0x_0使得

f(x)−f(y)=f′(x0)(x−y)

f(x)-f(y)=f^{'}(x_0)(x-y)
因此

|f(x)−f(y)|≤M|x−y|

|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|

给定ε>0\varepsilon>0，选择δ=ε/M\delta=\varepsilon/M，那么|x−y|<δ|x-y|意味着

|f(x)−f(y)|<M⋅δ=M⋅ε/M=ε

|f(x)-f(y)|

因此ff是一致连续的。

这个例子中，直觉上也可以多少看出一致连续。即这个结果说明，如果函数图像的斜率是有界的，那么它是一致连续的。当验证某些特殊的函数或他们的图像时，这是一个很好的思考方向。

例3：\textbf{例3：}说明sinx:R→R\sin x:R\to R是一致连续。

解：\textbf{解：}d(sinx)/dx=cosxd(\sin x)/dx=\cos x是有界的，且绝对值是1，所以根据例2可知，sinx\sin x是一致连续的。

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