漫步数学分析二十四——连续函数空间

固定集合A⊂RnA\subset R^n并且考虑所有函数f:A→Rmf:A\to R^m的集合VV，那么VV可以看成一个向量空间。在VV中，零向量就是对于所有的x∈Ax\in A函数等于0的函数。另外对于每个λ∈R,f,g∈V\lambda\in R,f,g\in V，我们定义(f+g)(x)=f(x)+g(x),(λf)(x)=λ(f(x))(f+g)(x)=f(x)+g(x),(\lambda f)(x)=\lambda(f(x))。接下来令ℓ={f∈V|f是连续的}\ell=\{f\in V|f\text{是连续的}\}，为了避免混淆，我们可以写成ℓ(A,Rn)\ell(A,R^n)，那么ℓ\ell也表示向量空间，因为两个连续函数的和是连续的并且对于每个α∈R,f∈ℓ\alpha\in R,f\in\ell，我们有αf∈ℓ\alpha f\in\ell。

令ℓb\ell_b是ℓ\ell的向量子空间，其中ℓ\ell由有界函数组成：ℓb={f∈ℓ|f是有界的}\ell_b=\{f\in\ell|f\text{是有界的}\}。回忆一下ff有界意味着存在一个常数MM使得对所有的x∈A,∥f(x)∥≤Mx\in A,\Vert f(x)\Vert\leq M。如果AA是紧集，那么ℓb=ℓ\ell_b=\ell。

对于f∈ℓbf\in\ell_b，令∥f∥=sup{∥f(x)∥|x∈A}\Vert f\Vert=\sup\{\Vert f(x)\Vert|x\in A\}，因为ff是有界的，所以最小上界肯定存在。∥f∥\Vert f\Vert是ff大小的度量并成为ff的范数(norm)，如图1所示，注意∥f∥≤M\Vert f\Vert\leq M当且仅当对于所有的x∈A,∥f(x)∥≤Mx\in A,\Vert f(x)\Vert\leq M。

图1

我们现在尝试做的就是像RnR^n那样看到空间ℓb\ell_b，即，ℓb\ell_b(是一个函数)中的每个点(即，向量)有一个范数，所以我们希望RnR^n中向量的概念可以用到ℓb\ell_b中，当做分析的时候这种想法是非常有用的并且利用RnR^n中的方法可以证明ℓb\ell_b中的某些重要结论(下篇文章会介绍)。为此，首要任务是建立范数的基本概念。

警告：虽然我们有范数，但我们没有像∥f∥2=<f,f>\Vert f\Vert^2=这样与其相关的内积，函数的其他空间(像之后我们会提到的傅里叶分析)有这样的内积。

定理6\textbf{定理6} ℓb(A,Rm)\ell_b(A,R^m)中的函数∥⋅∥\Vert\cdot\Vert满足范数的性质：

∥f∥≥0,∥f∥=0\Vert f\Vert\geq0,\Vert f\Vert=0当且仅当f=0f=0。
对于α∈R,f∈ℓb,∥αf∥=|α|∥f∥\alpha\in R,f\in\ell_b,\Vert\alpha f\Vert=|\alpha|\Vert f\Vert。
∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥\Vert f+g\Vert\leq\Vert f\Vert+\Vert g\Vert(三角不等式)。

这些是我们讨论开集，收敛等概念的基本法则。例如，ℓb\ell_b中当且仅当∥fk−f∥→0\Vert f_k-f\Vert\to0时，我们写作fk→ff_k\to f，回忆一下满足法则(i),(ii),(iii)\textrm{(i),(ii),(iii)} 的范数向量空间称为范数空间(normed space)，前面介绍的结果在范数空间中都满足，在下面的讨论与证明中我们将直接用到他们。其与一致收敛的联系是非常简单的。

定理7\textbf{定理7} (fk→f(在A上一致))⇔(在ℓb中fk→f;即∥fk−f∥→0)(f_k\to f(\text{在}A\text{上一致}))\Leftrightarrow(\text{在}\ell_b\text{中}f_k\to f;\text{即}\Vert f_k-f\Vert\to 0)。

如果对于任意ε>0\varepsilon>0，存在一个NN使得k,l≥Nk,l\geq N意味着∥fk−fl∥<ε\Vert f_k-f_l\Vert，那么序列fkf_k称为柯西序列。如果每个柯西序列收敛，那么范数空间称为完备的。完备范数空间另一个名字叫做巴拿赫(Banach)空间。完备性是空间非常重要的性质，因为我们经常需要证明一个序列是柯西的并且推导出它收敛到空间中的某个元素。

定理8\textbf{定理8}ℓb\ell_b是一个巴拿赫空间。

空间ℓb\ell_b只是分析中最重要空间中的一个，根据定理6，我们可以引入开集，收敛等概念，就像RnR^n空间那样，而在其他层面上空间ℓb\ell_b可能与RnR^n非常不同。例如我们刚刚提到的，ℓb\ell_b没有内积。还有就是ℓb\ell_b不是有限维的。

例1：\textbf{例1：}令B={f∈ℓ([0,1],R)|对所有的x∈[0,1],f(x)>0}B=\{f\in\ell([0,1],R)|\text{对所有的}x\in[0,1],f(x)>0\}。说明BB在ℓ\ell ([0,1]([0,1],R),R) 中BB 是一个开集。

解：\textbf{解：}根据定义，对于f∈Bf\in B，我们一定可以找到ε>0\varepsilon>0使得D(f,ε)={g∈ℓ|∥f−g∥<ε}⊂BD(f,\varepsilon)=\{g\in\ell|\Vert f-g\Vert，所以固定f∈Bf\in B。接下来，因为[0,1][0,1]是紧集，所以ff在[0,1][0,1]的某点处得到最小值，我们称为mm，那么对于所有的x∈[0,1],f(x)≥m>0x\in[0,1],f(x)\geq m>0。令ε=m/2\varepsilon=m/2，那么如果∥f−g∥<ε\Vert f-g\Vert，结论就是对于每个x,|f(x)−g(x)|<ε=m/2x,|f(x)-g(x)|，因此g(x)≥m/2>0g(x)\geq m/2>0，所以g∈Bg\in B。

例2：\textbf{例2：}例1中集合BB的闭包是什么？

解：\textbf{解：}我们断言闭包是D={f∈ℓ|对所有的x∈[0,1],f(x)≥0}D=\{f\in\ell|\text{对所有的}x\in[0,1],f(x)\geq 0\}，这是一个闭集，因为如果fn(x)≥0f_n(x)\geq 0且fn→ff_n\to f(一致)，那么自然逐点收敛，即对所有的x,f(x)≥0x,f(x)\geq 0。为了说明DD是闭包，需要充分说明对于f∈Df\in D，存在fn∈Bf_n\in B使得fn→ff_n\to f，很简单的一个例子是fn=f+1/nf_n=f+1/n。

例3：\textbf{例3：}假设我们有序列fn∈ℓbf_n\in\ell_b使得∥fn+1−fn∥≤rn\Vert f_{n+1}-f_n\Vert\leq r_n，其中Σrn\Sigma r_n是收敛的，rn≥0r_n\geq 0。证明fnf_n是收敛的。

解：\textbf{解：}利用三角不等式我们有

∥fn−fn+k≤∥fn−fn+1∥+∥fn+1−fn+2+⋯+∥fn+k−1−fn+k∥≤rn+rn+1+⋯+rn+k

\begin{align*} \Vert f_n-f_{n+k} &\leq\Vert f_n-f_{n+1}\Vert+\Vert f_{n+1}-f_{n+2}+\cdots+\Vert f_{n+k-1}-f_{n+k}\Vert\\ &\leq r_n+r_{n+1}+\cdots+r_{n+k} \end{align*}

因为Σrl\Sigma r_l是收敛的，并且小于或等于s−sn−1s-s_{n-1}(其中sns_n是部分和，ss是和)，所以n→∞n\to\infty时该表达式→0\to 0，故fnf_n是柯西序列，它是收敛的。

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