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第二讲--函数的极限典型例题
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第二讲 函数的极限
一 内容提要
1.函数在一点处的定义
使得，有.
右极限
使得，有.
左极限
使得，有.
注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．
注2 的存在性(以为例)：在数列的“”定义中，我们曾经提到过，的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要；对也是如此，只要对给定的，能找到某一个，能使时，有即可．
注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于．
注4 ．
注５ ，有，称为归结原则――海涅(Heine)定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．(会叙述，证明，特别充分性的证明．)
注6 ，，有．
2 函数在无穷处的极限
设在上有定义，则
使得，有．
使得，有．
使得，有．
注１ ．
注２ ，有．
３ 函数的有界
设在上有定义，若存在一常数，使得，有，则称在上有界．
４ 无穷大量
使得，有．
使得，有．
类似地，可定义，，，等．
注 若，且和，使得，有，则．
特别的，若，，则．
５ 无穷小量
若，则称当时为无穷量．
注1 可将改为其它逼近过程．
注2 ，其中．由于有这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代．
注3 ，在的某空心邻域内有界，则．
注4 ，且当足够大时，有界，则．
注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量．
6 函数极限的性质
以下以为例，其他极限过程类似．
(1)，则极限唯一．
(2)，则，使得，有．
(3)，，且，则，使得，有
注 这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍．
(4)，，且当时，则．
(5)，，则
()
要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数．
7 夹逼定理
若使得，有，且
，则．
8 Cauchy收敛准则
函数在的空心邻域内极限存在使得，当，时，有．
9 无穷小量的比较
设，，且，则
(1)当时，称为的高阶无穷小量，记作；
(2)当时，称为的低阶无穷小量；
(3)当且时，称为的同阶无穷小量．
特别的，当时，称和为等价的无穷小量，记作～．
注1 上述定义中，自变量的变化过程也可用，，，，之一代替．
注2 当时，常见的等价无穷小有：
～，～，～，～，～，～
在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：
若～()，则
或 (为某逼近过程)．
而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．
注4 在某一极限过程中，若为无穷小量，则在此极限过程，有
～．
10 两个重要极限
(1)； (2)．
二、典型例题
例 用定义证明下列极限：
(1)；
(2)．
例 ，证明：
(1)若，则有；
(2)．
例 设是上的严格严格单调函数，又若对()，有，试证明：．
例 函数在点的某邻域内有定义，且对()，且
()，有，证明：．
例 设函数，，满足()，且
()
则 ()
问：在题设条件下，是否有？答：否．如．
例 设函数在上满足议程，且，则
()．
例 求下列函数极限
(1)()；
(2)()；
(3)．
例 求下列极限
(1)；
(2)；
(3)．
例 求下列极限：
(1)；
(2)．
例 求下列极限：
(1)；
(2)．
例 求下列极限：
(1)；
(2)；
(3)设()，求．
例 (1)已知，求常数；
(2)已知，求．
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