刘徽与《九章算术》《海岛算经》简介

《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种。魏晋的刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”。《九章算术》成书于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。

《九章算术》文字十分简略，难以读懂，没有给出算法推导和证明，刘徽的作注，使之有了较大的改善。

古代九数

《周礼》（世传为周公旦所著，但实际上作者及成书日不确，今天多数学者认为：《周礼》成书于战国时期乃至于汉初）的“九数”指的是《周礼·地官司徒·保氏》所言：“保氏掌谏王恶而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。”这就是古代教育必须学习的礼、乐、射、御、书、数六门功课，“九数”是指“数”学这门功课有九个细目。关于“九数”的细目，《周礼》并没有列出。东汉的郑玄在他的《周礼注疏·地官司徒·保氏》中引郑司农（郑众）所言：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。”东汉一些数学家用“衰[cuī]分”代替“差分”，用“勾股”代替“旁要”。“夕桀”不知所指，一说借圆形来测量的测量术。

海岛算经

《海岛算经》本来亦不是一部独立的著作，只是刘徽为了解释“重差术”而附在《九章算术》中《勾股》章之后的一卷，名为《重差》（所谓“重差”,是测量方法,“重”字是重复的意思,读chóng;“差”是两表日影长度相减），直至唐代初年，这一部分才被人从《九章算术》抽出来独立成书，因第一题是测量有关海岛的高度及距离的问题，而把它命名为《海岛算经》。现传版本的《海岛算经》是清初编辑《四库全书》时戴震从《永乐大典》中重新抄录出来，但只剩下九个问题。

海岛算经第一个问题

今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？

答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。

（“术曰”这段话的意思，参见后面的“我国古代测高重差公式和测远重差公式的证明”部分）

用现代语言改写如下：

如下图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1 000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步=6尺，1里=180丈=1 800尺=300步）

现代常用解法如下：

还有其它解法，就不介绍了。下面介绍古代的求解公式。

我国古代测高重差公式和测远重差公式的证明

上面公式是如何得到的，刘徽的《海岛算经》中没有说明，下面证明是后人补加的。证明用到的关于矩形的一个重要性质：

法一、在图1的基础上做如下图形（图2）

法二、