二元函数对xy同时求导_复变函数学习笔记(5)

到现在为止复变函数的理论还算友善，只是Cauchy积分定理很难证。不过接下来，一系列震撼我妈的结论就要出现，这就是复变函数与实函数的区别。

(果然我还是喜欢无口系少女www)

Cauchy积分公式，复变函数的导数和一些推论

首先证明Cauchy积分公式，这是全纯函数的一种积分表示式。与实函数不一样的是，在发展了复变函数的积分以后我们才能继续发展导数的更多定理，这是很有趣的。

定理(Cauchy积分公式) 设

为由可求长简单闭曲线

围成的单连通区域，函数

。则对任意

，有

。

看到这个

就一定会想到：

。这样的话就可以写出：

。

然后与要证明的右边相减估计。但是只是在

上积分的话是没办法估计出结果的，所以我们还需要上一篇的绝活把它变成更方便的曲线。这就是下面的证明。

注意到

在

上是连续的，对

使得

有

。以

为圆心，

作一个圆

。由Cauchy积分定理：

。

所以由长大不等式

定理证毕。

有意思的一点是，Cauchy积分公式似乎暗示着，全纯复变函数局部处的值可以决定整体的值。

这个公式的一个较为重要的推论是下面的平均值定理：

定理设函数

在

为全纯函数，则对任意的

有

。

设

为以

为圆心，半径为

的圆。则由Cauchy积分公式：

就得到结果。

我们注意到如果倒过来用Cauchy积分公式，就可以计算一些复积分。但是现在并不急于做这件事，我们先证明：全纯函数可以求任意阶导数。为此要证明一个引理。这个引理事实上就是对积分号内部求导。

引理设

为可求长曲线，

为

上的连续函数。设

，以及函数

。则

在

上有任意阶导数，且

。

证明要用归纳法，很冗长。这里只写出第一步好了。只需要对

估计下面的式子：

计算绝对值内部的表达式：

取足够小的

使得

。则

。设

，则

。

利用长大不等式得到

当

趋于零时这个式子趋于零。所以

。

也稍微提一下归纳递推时的情况。这时会计算出来一个复杂的式子：

上面这个多项式其实可以因式分解出

，算出商式以后把分母除上去就处理好了。

现在在引理里取

为可求长闭曲线。由Cauchy积分公式，对全纯函数

成立：

。这就是一个引理里面说的函数。所以我们立刻得到定理：

定理(高阶导数公式) 设

为由可求长简单闭曲线围成的单连通区域，函数

。则对任意

，有

存在，且

。

同Cauchy积分定理一样，这些公式有在多连通区域的推广。

定理假设

为可求长简单闭曲线，

在

内部，

中任何一个都在其余

个的外部。设这些曲线围成区域

，函数

。规定曲线的正方向：质点沿着曲线正方向运动时，区域

在质点的左边。令

，则

，且其

阶导数为

，

。

这些公式可以倒过来用以计算积分。如果一个积分具有

的形式，那么可以考虑把它变成

的

阶导数来做。比如：

例：计算

。

设

，以原点为圆心，考虑半径为

的圆

和半径为

的圆

。令

，则

在

围成的圆环中全纯。令

，则

。这样就有

。后面这一项可以取

，这时用长大不等式估计一下就知道积分值为零。(由Cauchy积分定理，任何两个这样的积分都是相等的)所以原式的值为

。

这里要再提一个书上的习题，果然带人名的习题都不是什么好东西。。。如果可以的话希望评论区有大佬指出这个证明的原理。

例：(Schwarz积分公式)设函数

。设

，证明：

。

首先使用Cauchy积分公式：

，

最后一个式子中

。接下来是震撼我妈的一步：令

为

关于

的反演点，它一定在圆外。由Cauchy积分定理：

。

注意到

，有

。所以两式相减得到

由于

，(这是因为

)考虑函数

，

则

也全纯，且

。这可以得出

(请大家证明)。代入

并借助平均值定理得到

。所以命题得证。

接下来会有更多厉害的定理出现，它们是上面所说的定理的推论。先证明一个比较有用的不等式。

定理(Cauchy不等式) 设函数

，满足对任意

有

。则

。

还有一个不等式也叫Cauchy不等式呢(歪头)，不过那个在复变中出现很少，一般不会混淆的。

我们只要用高阶导数公式。设

，则有

。

由长大不等式：

。令

就得到结论。

这个估计式可以用来证明著名的Liouville定理。

定理(Liouville定理) 有界的整函数一定是常数。

证明其实很简单，设

。对任意一点

取一个圆盘

，由Cauchy不等式得

。令

得

。所以

为常数。证毕。

还有一种不依赖Cauchy不等式的证法(习题)。对任意

，作一个大圆

包围它们。则由长大不等式

。

注意到所有这些积分都一样，令

得到

。另一方面，由Cauchy积分公式

所以

，证毕。

Liouville定理可以用来证明多项式理论中的一大基础定理：代数基本定理。值得注意的是，这个定理还没有纯粹使用代数方法的证明。

定理(代数基本定理) 任何

上的多项式

一定有零点，除非它是常数。

如果多项式不是常数，那么一定有

。设

。假设

没有零点，则

是整函数，且

。这样

是有界的整函数，由Liouville定理知

是常数，也就是

是常数。矛盾。

最后，我们揭示有原函数，Cauchy积分定理以及全纯这三个性质之间的一致性。

定理(Morera定理) 设函数

。如果对任何可求长闭曲线

有

，则

。

这是因为，由上一篇的定理知道

有原函数

。

肯定是全纯函数，而且之前已经证明

有任意高阶导数，所以

也是全纯函数。证毕。

现在我们知道了，这三个玩意在复变里是等价的！一方面在全纯函数外面病态函数遍地走，另一方面在全纯函数范围内却如此优美和谐。初学数学，这就是复变函数嘛，i了i了。

不扯了，来举一些例子来说明定理的应用。

例：设整函数

满足

。证明

是常数。

令函数

。设

，则

。故

。所以

是有界的整函数，由Liouville定理得

为常数。从而

为常数。

例：设

为区域，函数

。令

。证明

。

由定义容易证明

。下面证明对任意可求长曲线

有

。

如果

，则问题很简单。如果

在

外，则

在

内全纯，由Cauchy积分定理就得到结论。如果在

内，由Cauchy积分公式：

。

下面假设

。设

。注意到

在闭域内一致连续，可以取一个区域

使得

。在

中，对任意

都存在

使得对任意

都有

。取

，作一个圆

。这时候考虑每一次曲线

穿入和穿出圆

，每个来回都把穿出和穿入的复数之差记录下来，总共加起来为一个复数

。考虑曲线

表示把曲线

中位于圆内的段都换成对应圆弧的曲线，则

，已经证明

。设

和

分别表示曲线

在圆内的部分和对应的圆弧，则由长大不等式

可以任意小。(注意

，

为第一次穿入的点)从而命题得证。

最后由Morera定理，

是全纯函数。证毕。

(不知道我是不是做复杂了呢)

非齐次Cauchy积分公式，一维

问题

本节介绍关于一阶偏导数连续的函数(组成集合

)的Cauchy积分公式以及它的应用。

在这一节开始之前先复习一下淑芬里的一个内容：外微分。我们通常使用的记号

是有意义的，但是这里我们不是特别需要，所以把他们看成形式记号就好了。一般而言，为微分记号之间的

外积运算规定下面的规则：

。

一般的函数与微分形式做外积，定义为普通的数乘。

如果令

，则容易证明

也满足类似的规则，且

。

任何二元函数都可以写成

的形式，称它为零次微分形式。形如

的式子叫一次微分形式，形如

的式子叫二次微分形式。定义算子：

。(这两个偏微商的定义请看第二篇)

外微分算子定义为

。下面的Poincaré定理可以直接验证：

定理对任意系数二阶连续可求偏微商的微分形式

成立

。

另外，算子

满足下面的关系式：

。

下面的定理是一般形式Stokes公式的特例。

定理(Stokes公式) 如果

为可求长简单闭曲线围成的域，

为一次微分形式，

。则

。

证明就是运用Green公式，以及一些朴实无华且枯燥的计算。

定理可以推广到有几个洞的多连通区域，具体方法与之前几个定理的推广一样。

复习完了，来证明我们的主要结果。其实，这就是Stoke公式的一个推论。为了后面的方便，这里证明一个引理，事实上就是二维长大不等式。

引理设

为连续函数，

。记

的面积为

，则

。

设

。则

。此时

。所以

证毕。

定理(非齐次Cauchy积分公式) 设

，

是之前提到的那种多连通域。则对任意

成立

。

考虑一次形式

。由于有一个奇点

，我们作一个小圆

，令

挖掉奇点。在

用Stokes公式：

。由于

，所以上式变为

。

下面需要证明：

，以及

。

接下来就是陈词滥调了，什么与

距离下确界啦，连续啦，长大不等式啦。这个伎俩已经用了好几次了，这里就不写了。只是需要注意，证明第二个式子要用上面的引理。

所以这个公式就是Stokes公式的一个推论嘛（

非齐次Cauchy积分公式的一个应用是解决了所谓的一维

问题

。也就是说，设函数

，找一个函数

使得

。下面我们的任务是证明：这个函数就是

。

定理设

为复平面的域，

。则函数

满足

，且

。

接下来请欣赏数学家Grothendieck和Dolbeault的精彩节目。首先从一个引理开始。

引理设

。则存在一个函数

满足：

(1)

可以无穷次求偏导数；

(2)

，其中

称为

的

支集；
(3)

；

(4)如果

，则

。

取

满足

。定义函数

以及函数

。

由于

可以求无穷次偏导数，所以

也可以，(1)成立。

等价于

，所以

。(2)成立。由于

，所以(3)成立。

时

，所以(4)成立。引理证毕。

这个函数构造出来干嘛？用来限制

。这玩意其实类似一个特征函数。下面正式开始定理的证明，也就是对任意的

证明

。

作换元

。那么

。我们会在这种形式与原来的形式之间切换。把

拆成两个部分：

。

其中

，而

是引理描述的函数。对于函数

，我们有

，从而

。对

而言这是一个全纯函数，从而由Cauchy-Riemann方程得到

。现在计算导数：

最后一个等号是因为

。而

，所以由非齐次Cauchy积分公式得

。在

时左边变成

。所以

。代入

得到

。

看到这里，大家大概明白构造函数的一个目的了吧：把非齐次Cauchy积分公式的那个一次微分形式的积分消去。这种操作在许多地方都有出现。

在这之后我们还可以得到一维

方程的通解：

。记住这个问题，它会在后面的章节使用到。

(这一小节习题有点难，谁来教教我TωT)