二元函数对xy同时求导_如何对反三角函数进行求导和积分？

在上完高中三年的所有课程之后，我们对于微积分已经有了一定的了解并且在其他科目中也利用它解决了很多问题。在高中阶段，应用的频率比较多的可能也就是普通的微分和积分的一些公式，比如对x²求导就是2x，对x²积分就是⅓ x³+c，对sinx求导就是cosx，对1/x积分就是lnx+c......但是，对于有的形式的函数或表达式，我们对它进行求导或积分等处理的时候就稍微费力一些，而且也不是太好记，可能学过之后隔了很长一段时间再去看就忘掉了。那么，今天给大家带来的是反三角函数的求导与积分。反三角函数我们先来聊一聊什么叫做反三角函数。其实跟反函数的道理一样，就是比如说我现在有一个函数y=f(x)，那么它的反函数就是一个函数g(y)在每一处的g(y)都等于x，那么这样的函数x=g(y)叫做函数y=f(x)的反函数，表达式为：y=f^(-1)(x)。由此，假如我们现在有一个函数叫做y=sinx，那么它的反函数就是y=sin^(-1)x，也可以写为y=arcsinx。对于cosx, tanx, cotx, cscx, secx等等，也是同样的。

y=arcsinx如果我们说y=arcsinx，那么siny=x。我们在把原来的反函数变成这种看上去正常一些的形式后，进行求导就会很顺利。首先，我们等式两边同时求一次导数：

我们在得到这一步之后呢，发现还不是我们最想要的结果。那么我们来观察一下cosy，在高一的必修课上我们学过cos²y+sin²y=1，所以cosy就可以写成根号下1-sin²y了。我们看看下面能得出什么：

所以最后利用等量代换，对y=arcsinx的求导就是这样。由于积分与求导是两个相反的过程，所以我们看到根号下1-x²的倒数这种式子做积分的结果就是arcsinx了。

y=arccosx

对于y=arccosx，求导的思路跟上面大同小异，也会利用到平方和等于1的公式。

所以负根号下1-x²就等于arccosx了：

y=arctanx

虽然对于正切函数进行求导的思路和前面两个也差不多，但是这里用到的公式可能却是大家不容易马上想起来的，也就是tan²x+1=sec²x，我们来看看是如何操作的：

那么a/(a²+x²)的积分就是arctan(x/a):

习题实战

相信大家掌握了基本的对正弦、余弦和正切的反函数的求导过程之后应该迫不及待地想解决一些问题了，这里呢我们来看几个例子：

这样一个积分乍一看会让人束手无策，不过没关系，我们只要熟练运用以上的思路就迎刃而解：

对于这个积分，有人会说老师这种不带根号的好难呀还能不能用反三角函数来解呢，其实我们只需要仔细观察分子，把它稍微进行一下变换是可以解的：

对于这个积分，有的同学又会说老师这个题又带根号又这么多项真的太难了不会写呀，这种情况下我们还是要一步一步来，运用数学这一学科带给我们的严谨的逻辑，不要手忙脚乱，也就是把前面一些方法结合起来就OK了：

END

以上就是关于反三角函数的求导和积分问题了，大家看完之后是不是觉得一切如此简单？快快掌握起来应用到今后更多的领域上吧

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