动态规划 01背包问题

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动态规划算法是一种经典的算法，它是如此美妙的算法，值得每一个程序员拥有。但是，直到晚上看《算法导论》，才发现自己现在才全面理解它，不禁狂汗。。。

以经典的背包问题来展示动态规划算法

代码 Code highlighting produced by Actipro CodeHighlighter (freeware)http://www.CodeHighlighter.com/-->  1 #include <stdio.h>#define N    4#define W    5//物品的重量int w[] = {-1, 2, 1, 3, 2};//价值数组int vi[] = {-1, 12, 10, 20, 15};int v[N+1][W+1]; //v[i][j]表示从前i个物品选能够放进承重量为j的背包的子集的最大总价值void init(){int  i, j;for (i = 0; i <= N; i++)for (j = 0; j <= W; j++)v[i][j] = -1;for (i = 0; i <= N; i++)v[i][0] = 0;for (i=0; i <= W; i++)v[0][i] = 0;}//基于备忘录的动态规划算法int MKFnapsack_MEMOIZE(int i, int j){int value;if (v[i][j] < 0)  //如果v[i][j]还没有计算,则进行计算{if (j < w[i])value = MKFnapsack_MEMOIZE(i-1,j);else{int v1 = MKFnapsack_MEMOIZE(i-1, j);int v2 = MKFnapsack_MEMOIZE(i-1, j-w[i]) + vi[i];value = v1 >=v2 ? v1:v2;}v[i][j] = value;}return v[i][j]; //如果v[i][j]已经进行计算,则不进行计算,直接返回即可}//自顶向下的动态规划算法int MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(int i, int j){int value;if(i <= 0 || j <= 0)return 0;//不管v[i][j]是否计算过,都进行计算if (j < w[i])value = MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(i-1, j);else{int v1 = MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(i-1, j);int v2 = MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(i-1, j-w[i]) + vi[i];value = v1 >= v2 ? v1:v2;}return value;}//自底向上的算法int MKFnapsack_BOTTOM_TO_TOP(int Ni, int Wi){int i, j;for (i = 1; i <= Ni; i++){for(j = 1; j <= Wi; j++){if(j < w[i])v[i][j] = v[i-1][j];else //j >=w[i]{int v1= v[i-1][j];int v2 = v[i-1][j-w[i]] + vi[i];v[i][j] = v1 >= v2 ? v1:v2;}}}return v[N][W];}void print_v(int Ni, int Wi){int i, j;for(i = 0; i <= Ni; i++){for(j = 0; j <= Wi; j++)printf("%d ", v[i][j]);printf("\n");}}int main(){printf("top to bottom most value is:%d\n", MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(N, W));init();//数组初始化printf("memoize most value is:%d\n", MKFnapsack_MEMOIZE(N, W));print_v(N, W);init();printf("bottom to top most value is:%d\n", MKFnapsack_BOTTOM_TO_TOP(N, W));print_v(N, W);return 0;}

输出结果：

自顶向下的递归算法，写法最简单，但效率是最低的，它往往把问题搞成指数级。而自底向上的算法是DP的经典策略，它比自顶向下的效率高，但是，它往往也计算了没有必要计算的子问题(见上图)。而基于备忘录的自顶向下的算法是前两者的集大成者，效率最优。

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