动态规划-01背包问题

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动态规划之01背包问题 - kkbill - 博客园01背包问题问题描述：给定 n 件物品，物品的重量为 w[i]，物品的价值为 c[i]。现挑选物品放入背包中，假定背包能承受的最大重量为 V，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总https://www.cnblogs.com/kkbill/p/12081172.html

思路

DP算法核心思想： 过利用已有的子问题信息高效求出当前问题的最优解。

f[i][j]表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少。
   result=max(f[n][0~v])

   f[i][j]:
（1）、不选第i个物品，f[i][j]=f[i-1][j];
   理解：不选第i个物品有两种情况：
a. 体积不够
b. 不是最优解，即f[i-1][j]为优解
（ 2）、选择第i个物品，f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i]
   理解：这里用到了以前已经解决了的子问题，即f[i-1][j-v[i]]的最优解

   eg：新加的物品体积为2，价值为4，假设体积够装,则f[i][j]=max(f[i-1][j-2]+4,f[i-1][j])
       如果体积不够装，则f[i][j]=f[i-1][j]

   f[j]:
   状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]） 。(我在题目中用f1[N]来表示优化后的一维数组)

需要注意的是，一维版本需要逆序求最大值，即从j=m开始，防止数据被覆盖污染

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N=1010;int n,m;
int f[N][N];    //i个物品在总体积小于等于j的情况下可以获得的最大价值
int v[N],w[N];  //分别表示第i个物品的体积和价值
int f1[N];      //优化的一维版数组 //二维版
int main()
{cin>>n>>m; //背包里有n个东西，能装的物品的体积总和不超过mfor(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; //全局变量初始值默认为0，此步骤可省略for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++){//不选择第i个物品f[i][j]=f[i-1][j];//选择第i个物品if(j>=v[i]) //当前背包的体积可以装下第i个物品{f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);} } //f[n][m]即为最大值  cout<<f[n][m];} //优化--一维版
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--)f1[j]=max(f1[j],f1[j-v[i]]+w[i]);cout<<f1[m];return 0;
}

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