高等数学(下)重积分
- 1 二重积分的概念与性质
- 1.1 二重积分的概念
- 1.2 二重积分的性质
- 1.2.1 积分可加性
- 1.2.2 积分可数乘
- 1.2.3 区域可加性
- 1.2.4 比较定理
- 1.2.5 估值定理(介值定理)
- 1.2.6 中值定理
- 2 二重积分计算法
- 2.1 直角坐标系计算二重积分
- 2.1.1 先对y积分再对x积分
- 2.1.2 先对x积分再对y积分
- 2.1.3 将二重积分转化为累次积分
- 2.1.3.1 画出积分区域的草图
- 2.1.3.2 根据积分区域和被积函数特点选择适当的积分次序
- 2.1.3.3 确定累次积分的上下限
- 2.1.4 利用二重积分中区域的对称性和被积函数的奇偶性简化二重积分计算
- 2.1.4.1 区域D关于y轴对称
- 2.1.4.2 区域D关于x轴对称
- 2.1.4.2 区域D关于原点对称
- 2.1.4.2 区域D关于直线y = x对称
- 2.2 极坐标系计算二重积分
- 2.2.1 直角坐标与极坐标转换公式
- 2.2.2 先对 ρ ρ \rho 积分再对 θ θ \theta 积分
- 2.2.3 先对 θ θ \theta 积分再对 ρ ρ \rho 积分
- 2.1 直角坐标系计算二重积分
- 3 三重积分
- 3.1 物理意义
- 3.2 计算法
- 3.2.1 利用直角坐标系
- 3.2.1.1 投影法
- 3.2.1.1.1 向xOy面做投影
- 3.2.1.1.2 向yOz面做投影
- 3.2.1.1.3 向xOz面做投影
- 3.2.1.2 截面法
- 3.2.1.2.1 垂直于z轴做切面
- 3.2.1.2.2 垂直于x轴做切面
- 3.2.1.2.3 垂直于y轴做切面
- 3.2.1.1 投影法
- 3.2.2 利用柱面坐标系
- 3.2.2.1 坐标关系
- 3.2.2.2 体积元素
- 3.2.2.3 化为三次积分
- 3.2.3 利用球面坐标系
- 3.2.3.1 坐标关系
- 3.2.3.2 体积元素
- 3.2.3.3 化为三次积分
- 3.2.1 利用直角坐标系
1 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的概念
\int _ D f(x, y) d \sigma = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ {n} f(\xi _ i, \eta _i) \Delta \sigma _ i
其中 f(x,y) f ( x , y ) f(x, y) 叫做被积函数, f(x,y)dσ f ( x , y ) d σ f(x, y)d\sigma叫做被积表达式, dσ d σ d\sigma叫做面积元素, x x x与y" role="presentation" style="position: relative;">yyy叫做积分变量, D D D叫做积分区域,∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi" role="presentation" style="position: relative;">∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\sum _ {i = 1} ^ {n} f(\xi _ i, \eta _i) \Delta \sigma _ i叫做积分和。
1.2 二重积分的性质
1.2.1 积分可加性
\iint _ D k f(x, y) d \sigma = k \iint _ D f(x, y) d \sigma,k是常数
1.2.2 积分可数乘
\iint _ D [f(x, y) \pm g(x, y)] d \sigma = \iint _ D f(x, y) d \sigma \pm \iint _ D g(x, y) d \sigma
1.2.3 区域可加性
设区域 D D D是由 D1D2" role="presentation" style="position: relative;">D1D2D1D2D_1 D_2 组成,且 D1D2 D 1 D 2 D_1 D_2 除边界点外无其他交点,则
\iint _ D f(x, y) d \sigma = \iint _ {D_1} f(x, y) d \sigma + \iint _ {D_2} f(x, y) d \sigma
1.2.4 比较定理
若在区域 D D D内有f(x,y)≤g(x,y)" role="presentation" style="position: relative;">f(x,y)≤g(x,y)f(x,y)≤g(x,y)f(x, y) \le g(x, y),则 ∬Df(x,y)dσ≤∬Dg(x,y)dσ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D g ( x , y ) d σ \iint _ D f(x, y) d \sigma \le \iint _ D g(x, y) d \sigma
特别地, |∬Df(x,y)dσ|≤∬D|f(x,y)|dσ | ∬ D f ( x , y ) d σ | ≤ ∬ D | f ( x , y ) | d σ |\iint _ D f(x, y) d \sigma| \le \iint _ D |f(x, y)| d \sigma
1.2.5 估值定理(介值定理)
设 m,M m , M m, M分别为 f(x,y) f ( x , y ) f(x, y)在闭区域 D D D上的最小值和最大值,则
m|D| \le \iint _ D f(x, y) d \sigma \le M|D|
其中 |D| | D | |D|表示区域 D D D的面积
1.2.6 中值定理
若f(x,y)" role="presentation" style="position: relative;">f(x,y)f(x,y)f(x, y)在闭区域 D D D上连续,则在D" role="presentation" style="position: relative;">DDD上至少存在一点 (ζ,η) ( ζ , η ) (\zeta, \eta),使得
\iint _ D f(x, y) d \sigma = f(\zeta, \eta) \cdot |D|
2 二重积分计算法
2.1 直角坐标系计算二重积分
2.1.1 先对y积分再对x积分
\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ a ^ b dx \int _ {y_1 (x)} ^ {y_2 (x)} f(x, y) dy
此时成 D D D为X" role="presentation" style="position: relative;">XXX型区域,其特点是:穿过 D D D内部且平行于y" role="presentation" style="position: relative;">yyy轴的直线与 D D D的边界相交不多于两点。
2.1.2 先对x积分再对y积分
\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ c ^ d dy \int _ {x_1 (y)} ^ {x_2 (y)} f(x, y) dx
此时成 D D D为Y" role="presentation" style="position: relative;">YYY型区域,其特点是:穿过 D D D内部且平行于x" role="presentation" style="position: relative;">xxx轴的直线与 D D D的边界相交不多于两点。
2.1.3 将二重积分转化为累次积分
2.1.3.1 画出积分区域的草图
2.1.3.2 根据积分区域和被积函数特点选择适当的积分次序
2.1.3.3 确定累次积分的上下限
(1) 后积先定限(累次积分中后积变量的上下限均为常数可以先确定)
(2) 限内画条线(该直线要平行于坐标轴且与坐标轴同方向)
(3) 先交为下限(直线先穿过的曲线作为下限)
(4) 后交为上限(直线后穿过的曲线作为上限)
2.1.4 利用二重积分中区域的对称性和被积函数的奇偶性简化二重积分计算
2.1.4.1 区域D关于y轴对称
(1)若f" role="presentation" style="position: relative;">fff关于 x x x为奇函数,则I=0" role="presentation" style="position: relative;">I=0I=0I = 0。
(2)若 f f f关于x" role="presentation" style="position: relative;">xxx为偶函数,则 I=2∬D1f(x,y)dσ I = 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ I = 2 \iint _ {D_1}f(x, y) d\sigma, 其中 D1={(x,y)∈D;x≥0} D 1 = { ( x , y ) ∈ D ; x ≥ 0 } D_1 = \{(x, y) \in D; x \ge 0 \}。
2.1.4.2 区域D关于x轴对称
(1)若 f f f关于y" role="presentation" style="position: relative;">yyy为奇函数,则 I=0 I = 0 I = 0。
(2)若 f f f关于y" role="presentation" style="position: relative;">yyy为偶函数,则 I=2∬D2f(x,y)dσ I = 2 ∬ D 2 f ( x , y ) d σ I = 2 \iint _ {D_2}f(x, y) d\sigma, 其中 D2={(x,y)∈D;y≥0} D 2 = { ( x , y ) ∈ D ; y ≥ 0 } D_2 = \{(x, y) \in D; y \ge 0 \}。
2.1.4.2 区域D关于原点对称
(1)若 f f f关于x,y" role="presentation" style="position: relative;">x,yx,yx, y为奇函数,则 I=0 I = 0 I = 0。
(2)若 f f f关于x,y" role="presentation" style="position: relative;">x,yx,yx, y为偶函数,则 I=2∬D3f(x,y)dσ I = 2 ∬ D 3 f ( x , y ) d σ I = 2 \iint _ {D_3}f(x, y) d\sigma, 其中 D3={(x,y)∈D;y≥0} D 3 = { ( x , y ) ∈ D ; y ≥ 0 } D_3 = \{(x, y) \in D; y \ge 0 \}。
2.1.4.2 区域D关于直线y = x对称
(1)若 f(x,y)=−f(−x,−y) f ( x , y ) = − f ( − x , − y ) f(x, y) = - f(-x, -y),则 I=0 I = 0 I = 0。
(2)若 f(x,y)=f(−x,−y) f ( x , y ) = f ( − x , − y ) f(x, y) = f(-x, -y),则 I=2∬D4f(x,y)dσ I = 2 ∬ D 4 f ( x , y ) d σ I = 2 \iint _ {D_4}f(x, y) d\sigma, 其中 D4={(x,y)∈D;y≥x} D 4 = { ( x , y ) ∈ D ; y ≥ x } D_4 = \{(x, y) \in D; y \ge x \}。
2.2 极坐标系计算二重积分
2.2.1 直角坐标与极坐标转换公式
\left \{ \begin{aligned} x & = \rho \cos \theta \\ y & = \rho \sin \theta \end{aligned} \right. 即 \iint _D f(x, y) d \sigma = \iint _ D f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho d \theta
2.2.2 先对 ρ ρ \rho 积分再对 θ θ \theta 积分
\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ {\theta _ 1} ^ {\theta _ 2} d\theta \int _ {\rho _ 1 (\theta)} ^ {\rho _ 2 (\theta)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho
2.2.3 先对 θ θ \theta 积分再对 ρ ρ \rho 积分
\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ {a} ^ {b} \rho d\rho \int _ {\theta _ 1 (\rho)} ^ {\theta _ 2 (\rho)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) d \theta
3 三重积分
3.1 物理意义
若 V V V是某物体所占空间的空间闭区域,连续函数f(x,y,z)" role="presentation" style="position: relative;">f(x,y,z)f(x,y,z)f(x, y, z)为该物体的密度函数,则三重积分 ∭Vf(x,y,z)dV ∭ V f ( x , y , z ) d V \iiint _ V f(x, y, z)dV的值等于该物体的质量。
3.2 计算法
3.2.1 利用直角坐标系
3.2.1.1 投影法
3.2.1.1.1 向xOy面做投影
V V V可表示成:
\left \{ \begin{aligned} & (x, y) \in D_{xy},\\ & z_1(x, y) \le z \le z_2(x, y) \end{aligned} \right.
则
\iiint _{V}f(x, y, z) dV = \iint _{D_{xy}} dx dy \int _ {z_1 (x, y)} ^ {z_2 (x, y)}f(x, y, z)dz
3.2.1.1.2 向yOz面做投影
3.2.1.1.3 向xOz面做投影
3.2.1.2 截面法
3.2.1.2.1 垂直于z轴做切面
\iiint _ V f(x, y, z) dV = \int _ a ^ b dz \iint _ {D_z}f(x, y, z) dx dy
3.2.1.2.2 垂直于x轴做切面
3.2.1.2.3 垂直于y轴做切面
3.2.2 利用柱面坐标系
3.2.2.1 坐标关系
\left \{ \begin{aligned} & x = r \cos \theta\\ & y = r \sin \theta\\ & z = z \end{aligned} \right.
3.2.2.2 体积元素
dV = dx dy dz = r dr d\theta dz
3.2.2.3 化为三次积分
\iiint _ V f(x, y, z) dV = \int _ {\theta _ 1} ^ {\theta _ 2} d\theta \int _ {r _ 1 (\theta)} ^ {r _ 2 (\theta)} r dr \int _ {z_1(r, \theta)} ^ {z_ 2(r, \theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) dz
3.2.3 利用球面坐标系
3.2.3.1 坐标关系
\left \{ \begin{aligned} & x = r \sin \varphi \cos \theta\\ & y = r \sin \varphi \sin \theta\\ & z = r \cos \varphi \end{aligned} \right.
其中 r≥0,0≤θ≤2π,0≤φ≤π r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ φ ≤ π r \ge 0, 0 \le \theta \le 2 \pi, 0 \le \varphi \le \pi
3.2.3.2 体积元素
dV = dx dy dz = r ^ 2 \sin \varphi dr d \varphi d \theta
3.2.3.3 化为三次积分
\iiint _ V f (x, y, z) dV = \int _ {\theta _ 1} ^ {\theta _ 2} d\theta \int _ {\varphi _ 1 (\theta)} ^ {\varphi _ 2 (\theta)} \sin \varphi d \varphi \int _ {r_1 (\theta, \varphi)} ^ {r_2 (\theta, \varphi)} f( r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r ^ 2 dr
高等数学(下)重积分相关推荐
- 数学分析 重积分(第21章)2 重积分的应用,n重积分,反常二重积分,变量变换公式
一.重积分的应用(21.6) 1.曲面的面积: 2.质心: 3.转动惯量: 4.引力: 二.nnn重积分(21.7) (1)概念: (2)相关结论: 三.反常二重积分(21.8) 1.无界区域上的二重 ...
- 【23】蔡高厅老师 - 高等数学下阅读笔记 - 重积分 - 直角坐标系下(下)23 - 27
1 一元函数的定积分: 2 重积分讨论的被积函数是多元函数 二重积分定义 25 性质和计算 不等号性质: 估值定理 26 如何求AX0, (ABEF) 二重积分化为二次积分 Y型区域,X = 9/ ...
- 高等数学笔记-苏德矿-第九章-重积分(Ⅱ)-三重积分
高等数学笔记-苏德矿 第九章-重积分(Ⅱ)-三重积分 第三节 三重积分的概念和性质 一.三重积分的典例 01 一些基本概念 (1) 立体的体密度 (2) 求立体V的质量 设有界闭区域立体 VVV 的密 ...
- 高等数学笔记-乐经良老师-第九章-重积分
高等数学笔记-乐经良老师 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念和性质 一.典型例子 01 平面薄板的质量 平面薄板位于 x y xy xy 平面区域 D D D,其面密度为 μ ( x , y ) ...
- 高等数学笔记-苏德矿-第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分
高等数学笔记-苏德矿 第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分 第一节 二重积分的概念和性质 一.二重积分的典例 01 平面薄板的质量 平面薄片一点的面密度的定义: 设有一个平面薄片位于 xOyxOyxOy 平 ...
- 高数_第3章重积分_在极坐标下计算二重积分
一 在极坐标定下限, 上限是怎么确定的? 注意: 极坐标下不需要交换积分次序 1. 在计算极坐标的重积分是, 都是写成 ∫dθ ∫f(x,y) rdr 形式, 就是说dθ 写在前面 2. 由 ...
- 曲线曲面积分、重积分总结
文章目录 写在前面 曲线积分 第一型曲线积分 引入 定义 性质 计算方法 第二型曲线积分 引入 定义 性质 计算 二重积分 引入 定义 性质 Green公式 曲线积分与路线的无关性 变量替换 直角坐标 ...
- 曲面积分的投影法_曲线曲面积分与重积分知识点汇总
本文源自扬哥去年生日发的推送, 主要梳理曲线曲面积分与重积分的各种计算方法以及对应的一些联系, 题目多数来自每日一题与裴礼文, 还有部分为华师大课本例题. 计算题中, 对称性要放在战略的高度. 其次, ...
- 利用积分区域的对称性计算重积分
根据积分区域的对称情况 和 被积函数的奇偶性的配合可以得到不同的结论. 其中三重积分的轮换对称性,无需和被积函数的奇偶性配合 . 二重积分: 对于重积分 一.积分区域关于坐标轴对称: a. 积分区域关 ...
- 华工计算机高等数学b下作业,华工高等数学下作业
<华工高等数学下作业>由会员分享,可在线阅读,更多相关<华工高等数学下作业(4页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.2015-2016年度第一学期高等数学B(下)练习题201 ...
最新文章
- Matlab数据的可视化 -- 简易线性函数图
- SQL Server温故系列(1):SQL 数据操作 CRUD 之增删改合
- 代码逻辑分析_入行数据分析师不得不看的10本书
- python定位文件位置_python使用相对定位,绝对定位,选取同级别文件下的指定文件(csv,excel)...
- Framework中的AIDL(原)
- ios 旋转加载gif_iOS 中gif图的显示
- 干货收藏!史上最强 Tomcat 8 性能优化来啦!| 原力计划
- 安装Vue-DevTools插件及免费分享安装包
- c4d流体插件_C4D流体模拟插件 NextLimit RealFlow 2.6.5.0095 Win已注册版
- 网络编程1之send、recv函数详解
- 腾讯云租用CentOS 7.2 64
- 《向着光亮那方》刘同 读书笔记
- ctf练习之闯关游戏
- 阿里云使用笔记-第三篇-使用阿里云App连接实例
- Armeria 小试牛刀
- 23种设计模式-单一原则
- 个人永久性免费-Excel催化剂功能第94波-地图数据挖宝之搜索地图上的各种兴趣点数据(商铺名、地名、公共设施等)...
- Cocos2d-x 游戏实例教程跑跑跑2:让主角动起来
- 检测iPhone/iPod Touch/iPad设备类型
- Elsevier 期刊模板