利用积分区域的对称性计算重积分

2024-05-08 16:27:58

根据积分区域的对称情况和被积函数的奇偶性的配合可以得到不同的结论。

其中三重积分的轮换对称性，无需和被积函数的奇偶性配合。

二重积分：

对于重积分 ${\iint_D}f(x,y)dxdy$

一、积分区域关于坐标轴对称：

a. 积分区域关于y轴对称，

$f(-x,y)=-f(x,y) \Rightarrow \iint_D f(x,y)=0$

$f(-x,y)=f(x,y) \Rightarrow \iint_D f(x,y)=2\iint_{D_1} f(x,y)$ , ${D_1}$ 是右半平面的区域。

证明（方法1）：设 $D=D_1+D_2$ , $D_1,D_2$ 分别表左右半平面区域;

相应地，

$I=I_1+I_2=\iint_{D_1} f(x,y)+\iint_{D_2} f(x,y)$

则 $I_2=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=-\iint_{D_2}f(-x,y)dxdy=-\iint_{D_1}f(x,y)dxdy =-I_1$

从而 $I=0$

证明:（方法2）

$\iint_D f(x,y)=\int_{a}^{b}dy\int_{-A(y)}^{A(y)}f(x,y)dx$ ,

而

$g(-x)=f(-x,y)=-f(x,y) =-g(x)$ ，

$\int_{-A(y)}^{A(y)}f(x,y)dx=0$ ，对x积分时，y被看成了常量，因此 $A(y)$ 被看成常量，

于是，

$\iint_D f(x,y)=0$

b. 积分区域关于x轴对称时，有类似的结论。关于y的奇函数时积分为零；关于y的偶函数时，积分等于半区域积分的2倍。

c.三重积分情形：

配合被积函数的奇偶性：（三重积分的物理含义：不均匀的空间物体的质量）

（1）积分区域关于 $yox$ （z=0）对称，即是z有对称取值区间：

若 $g(-z)=f(x,y,-z)=-f(x,y,z)=-g(z)$ ，即被积函数是关于z的奇函数，则积分为零

（2）积分区域关于 $yox$ （z=0）对称，即是z有对称取值区间：

若 $g(-z)=f(x,y,-z)=f(x,y,z)=g(z)$ ，即被积函数是关于z的偶函数，

积分是半平面积分的2倍

事实上按照

先1后2的做作法，定积分有对称的取值区间，而这时被积函数是关于z的奇函数，故积分为零；

$\iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv = \iint _{D}dxdy\int _{-a(x,y)}^{a(x,y)}f(x,y,z)dz$

当时偶函数的时候，定积分是半区域的2倍，而二重积分的积分区域 $D_{xy}$ 不会变，被积函数也不会变。

因此这是三重积分是半空间区域内积分的2倍。

二、积分区域关于坐标原点对称：

$I=\iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=I_1+I_2$

若 $f(-x,-y)=f(x,y)$ ,则 $\iint_{D_1}f(-x,-y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=2\iint_{D_2}f(x,y)$

若 $f(-x,-y)=-f(x,y)$ ，则

$\iint_{D_1}f(-x,-y)dxdy=-\iint_{D_1}f(x,y)dxdy=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy$ 因此 $\iint_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=0$

TIP：可以根据二重积分的集合意义直观分析得出；若是关于x，y 的奇函数的时候，在对称区域上的微小体的体积总是互为相反数。因此总和为零。有一个正的体积就有一个负的体积。

三重积分情形：没有相关规律。

三、（二重）积分区域D关于y=x对称（轮换对称性）

（a）积分变量x，y 互换，不改变积分的值。

这是因为，当互换变量时，点还是在原来的积分区域内，积分区域没有发生变化。积分值不变：可以用元素法来分析，若在D1取一小块体积，则交换积分变量，可以在对称的区域上取得一块同样的体积，因此，总的体积没有发生变化。

因此，积分制不会发生改变。

（b）配合奇偶性有：

若 $f(x,y)=-f(y,x)$ 则，积分是零，即是 $I=\iint_{D}f(x,y)=0$ ；

（即是，如果积分区域关于y=x对称（x和y有相同的地位），且在对称点处的函数值大小相等符号相反则积分为零）

这是因为吧积分区域以 y=x 划分成两块区域 $D_1,D_2$ ，

由于交换函数自变量 $x,y$ 的位置后，被积函数大小相等符号相反，而积分区域的大小是一样的。(根据定义。)

若 $f(x,y)=f(y,x)$ ,则在关于 $y=x$ 的积分区域 $D_1,D_2$ ，在其中一个区域上有一个正的体积，在另外一个区域上也有一个正体积；同理有负体积也有附体积，总之积分是 $D_1,D_2$ 上的积分的2倍。

若 $f(x,y)=f(y,x)$ 则，积分是零，即是 $I=\iint_{D}f(x,y)=2\iint_{D_1}f(x,y)=2\iint_{D_2}f(x,y) ,,D=D_1+D_2$ ；

三重积分下的轮换对称性,

若积分区域 $y=x$ 对称，x，y互换变量积分值不变；

$\iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv =\int _{a}^{b}dz \iint _{D}f(x,y,z)dxdy$

,由于x和y 的等价性，结合二重积分的对称性可知，积分不会发生变化，即是

$\iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv =\iiint_{\Omega }^{} f(y,x,z)dv$

若积分区域 $y=z$ 对称，y，z互换变量积分值不变；

若积分区域 $z=x$ 对称，x，z互换变量积分值不变；

事实上，按先二后一的做法，由于二重积分不会发生改变，因此，三重积分不会发生改变。

若，x,y,z 三个变量在积分区域上是等价的，即是互换位置的时候，积分不会发生变化

，如： $x^2+y^2+z^2=r^2$

任意改变积分变量的位置，积分不会发生变化。

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