椭圆光学性质的几何证明

椭圆有个很好的光学性质：从一个焦点发出的光线，都会汇聚到另一个焦点。这种神奇的性质的证明，往往都是通过解析几何来说明。这里介绍一个简单的、只需要几何方法即可说明的证法。

问题描述和证明思路

先描述下问题：已知椭圆的半长轴为a，焦点是$F_1$和$F_2$，在椭圆上任选一点C（共线情况好说，这里不妨认为C与$F_1$、$F_2$不共线），作C的角平分线$l$，过C点作$l$的垂线m，则m是椭圆的切线。

这和高中的一道题有些像：已知有两个村庄F1、F2和河流m，在m上要建一个抽水站P，问P在哪里使得$PF_1+PF_2$最小。受到启发，证明如下

证明思路：添加辅助线——作$CF_1$关于m的对称线段CA。容易证明A、C、$F_2$是共线的。这和抽水站问题很像：如果取m上不是C的点P，则
\[ PA+PF_2>CA+CF_2=2a \]
也就是说，$PF_1+PF_2$也要大于2a，即P点要落在椭圆外面。这意味着直线m与椭圆只有一个交点。即m是椭圆的切线。

后记

当时遇到了一道物理题，一根2a长的绳子两端固定在两点上，一个人挂在滑轮上从一端滑向另一端。他的轨迹就是椭圆，而速度就是切线。从这个出发突然想到了椭圆的光学性质，可以这样证。

在百度的时候，发现已经有人发表了类似的完整证明，还有其他类型的二次曲线。这里是一些链接：

利用反证法证明圆锥曲线的光学性质
“椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考

转载于:https://www.cnblogs.com/zzdyyy/p/7643657.html

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椭圆光学性质的几何证明

问题描述和证明思路

后记

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