数学建模python matlab 编程(椭圆声学原理画图证明,解析几何)
证明,在椭圆形的音乐厅内,从一个椭圆的一个焦点发出声音,则另一个焦点听到的声音是最大的。
分析:证明,从椭圆的一个焦点任意发射的直线经过反射后,并经过另一个焦点。
画图,过一个焦点随机画一条直线l1,再做它与椭圆的交点,过该点作椭圆的一条切线l2,在作一条与该切线垂直的线l3,再作一条l1关于l3对称的直线l4,然后计算另一个焦点到l4的距离小于一个很小的数即可
我的matlab代码
% 画出一个椭圆 t=linspace(0,2*pi,1000); A=5; B=4; C=3; X=5*cos(t); Y=4*sin(t); plot(X,Y),grid on,hold on; aa=[-3,3] bb=[0,0] plot(aa,bb,'o'),hold on; axis equal% 随机画出一条直线 k=unifrnd(-10,10); x0=-3;y0=0; b=y0-k*x0; x=-6:6; y=k*x+b; plot(x,y),hold on;% 求椭圆和直线的交点 % (m,n)为切点 syms u v s=solve(u^2/5^2+v^2/4^2==1,v==k*u+b,u,v) u=double(s.u) v=double(s.v)if u(1)>u(2)mx=1 elsemx=2 end% 过(m,n)点求切线 % mx/a? + ny/b? =1 kq=-B*B*(u(mx))/(A*A*v(mx)) bq=B*B/v(mx) x2=-6:6; y2=kq*x2+bq; plot(x2,y2),hold on;% 做一条垂直于切线的线 kq2=-1/kq; bq2=v(mx)-kq2*u(mx); y3=kq2*x2+bq2; plot(x2,y3,'--'),hold on;% 求出一条直线 关于y3这条直线垂直的直线 % 先找到原直线上任意一点 x0=0 y0=k*x0+b;% 找到该点关于直线的对称点 A3=kq2;B3=-1;C3=bq2; x11 = ((B3*B3-A3*A3)*x0-2*A3*B3*y0-2*A3*C3)/(A3*A3+B3*B3) y11 = ((A3*A3-B3*B3)*y0-2*A3*B3*x0-2*B3*C3)/(A3*A3+B3*B3) k4=(y11-v(mx))/(x11-u(mx)) b4=v(mx)-k4*u(mx) x4=-6:6; y4=k4*x4+b4; plot(x11,y11,'o'),hold on; plot(x0,y0,'o'),hold on; plot(x4,y4),hold on;% 点到直线y4的距离小于一个很小数 x5=-C;y5=0; A4=k4;B4=-1;C4=b4; d = abs(A4*x5+B4*y5+C4)/(sqrt(A4*A4-B4*B4)) d<=0.0000001
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