前言

在初中课本，就有提到欧拉公式，即对于一个多面体，存在点+面-线=2，简记口决为“小二，点碗面线”。若设点数为n，面数为r，线数为m，则可表记为

$n+r-m=2$

在图论中，对于平面图，该公式也成立。这两个情形其实是同一种状况。

用数学归纳法可以证明该公式，但在高中数学中，还有另一种特殊的方法——利用球面几何。

预备知识

在平面中，k边形内角和 $\varphi=(k-2)\pi$

但在半径为1的球面上，k边形内角和 $\varphi=(k-2)\pi+S$ ，其中S为k边形的面积。

证明过程

像吹气球一样的方法，将多面体吹成每条边都铺在半径为1的单位球面上，就像足球上的花纹一样。设点数为n，面数为r，线数为m。

每个点周围角的和为 $2\pi$ （包括平角、优角和周角），则所有角的和为 $2n\pi$ 。

对于每个多边形，设其边数为 $m_{i}$ ，面积为 $S_{i}$ ，则其内角和为 $m_{i}\pi-2\pi+S_{i}$ 。所有多边形内角和等于所有角的和 $\sum_{i=1}^{r}{(m_{i}\pi-2\pi+S_{i})}$ ，由于每条边被两个多边形共用（或被一个多边形使用两次），所以：

$\sum_{i=1}^{r}{(m_{i}\pi-2\pi+S_{i})}=2m\pi-2r\pi+4\pi$

联立得： $2m\pi-2r\pi+4\pi=2n\pi$

即 $n+r-m=2$

后记

这是课本上的方法，证明过程比其它方法简短得多，但我在网络上没找到，所以写在这里和大家分享。球面几何和正常的几何有些差别，看着还是很有意思的。它也可以为之后学习黎曼几何、喷咖喱模型、客来阴模型做准备。

对于凹多面体是否能铺在球面上，以及空心体、复杂多面体等情况，在这不做介绍。

参考资料

人教版高中数学选修球面上的几何

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