前向差分、后向差分和中心差分误差分析

2024-05-10 13:27:15

前向差分、后向差分和中心差分误差分析

假设有函数y=f(x)，但是我们只知道该函数中有限个离散点，比如我们只知道函数上的有限点集：

现在我们想利用这些有限点集对函数f(x)求导。一种前向差分估算其导数的方法是：

另外一种后向差分估算其导数的方法是：

由于前向差分和后向差分的误差刚好符号相反，如果我们把这两种差分求其平均，那么得到的结果将好于其任何一种结果。如果离散点集为等距离划分，即xi+1-xi=xi-xi-1=h,因此对前向差分和后向差分平均后，我们得到其中心差分结果：

三种差分示意图：

误差估算

由泰勒公式表达前向差分为：

或者表示精度为O(h)的泰勒级数为：

假设我们令x=xi,xi+h=xi+1,即可表示为：

同理，我们可得后向差分泰勒级数表达式为：

或者表示精度为O(h)的泰勒级数为：

假设我们令x=xi,xi-h=xi-1,即可表示为：

对于中心差分，我们由泰勒公式可知：

其中，xi≤c1≤xi-1, xi-1≤c2≤xi,，上述两式子相减可得：

此式子，意味着中心差分的精度为O(h2),也意味着中心差分的结果要好于前向或者后向差分。

相应的我们可以求得更高阶的导数：

由1、3式可得：

参考资料：

1.https://mp.weixin.qq.com/s/7AHz5GC6MZ7y7opC7fzFDA

2.Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming Todd Young and Martin Mohlenkamp

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