一、前向差分

前向差分公式：(1)泰勒展开为：(2)

由泰勒展开可以推出 f '(x) : (3)

由（3）可以知道右边第一项是前向差分，而其他项的和是函数f '(x)与前向差分的误差，用o(x)表示，得出：（4）

因为误差项为o(x)，o(x)主要项为Δx/2。而Δx为一阶，所以前向差分为一阶精度。

同理可以推出后向差分

二、后向差分

后向差分公式：(1)

泰勒展开为：(2)

由泰勒展开可以推出 f '(x) : (3)

由（3）可以知道右边第一项是后向差分，而其他项的和是函数f '(x)与后向差分的误差，用o(x)表示，得出：（4）
因为误差项为o(x)，o(x)主要项为Δx/2。而Δx为一阶，所以后向差分为一阶精度。

三、中心差分

中心差分公式：(1)
泰勒展开为：(2)

由泰勒展开可以推出 f '(x) : (3)

由（3）可以知道右边第一项是中心差分，而其他项的和是函数f '(x)与中心差分的误差，其中主要项就是 (Δx^2)/6，由于 Δx^2是二姐的，因此中心差分的精度是二阶精度。

总结：
1、对于一阶差分如果Δx缩小到原来的1/2，那么误差项也会缩小到原来的1/2.
2、对于二阶差分如果Δx缩小到原来的1/2，那么误差项会缩小到原来的1/4.
3、因此二阶精度比一阶精度高。

四、Matlab仿真

%% 探究前向差分、后向差分、中心差分的精确度
% 函数f(x)=sin(x)*exp(-0.3x)
% 原函数图像
hold on
a = 100;
x = linspace(0,5*pi,100);
fx = sin(x).*exp(-0.3*x);
plot(x,fx);
% fx的一阶倒数画图
% f'(x)=cos(x)*exp(-0.3x)-0.3sin(x)*exp(-0.3x)
% f1x = cos(x).*exp(-0.3*x)-0.3*sin(x).*exp(-0.3*x);
% plot(x,f1x);
hold off%% 差分
hold on
f1x = cos(x).*exp(-0.3*x)-0.3*sin(x).*exp(-0.3*x);
plot(x,f1x);dx = 5*pi/100;
fx_0dx = sin(x+dx).*exp(-0.3*(x+dx));
fx_1dx = sin(x-dx).*exp(-0.3*(x-dx));
% 前向差分：f'(x)=[f(x+dx)-f(x)]/dx
f1x_f = (fx_0dx - fx)/dx;
plot(x,f1x_f,'--');
% 后向差分：f'(x)=[f(x)-f(x-dx)]/dx
f1x_b = (fx - fx_1dx)/dx;
plot(x,f1x_b,'-.');
% 中心差分：f'(x)=[f(x+dx)-f(x-dx)]/2dx
f1x_c = (fx_0dx - fx_1dx)/(2*dx);
plot(x,f1x_c,'o:','MarkerSize',3);title('f(x)的导数与有限差分近似,dx=5*\pi/100','FontSize',20)
legend("f'(x)原始","前向差分","后向差分","中心差分",'FontSize',12)
hold off%% 差分误差分析,dx=5*pi/100
hold on
% 前向误差
error_f = f1x - f1x_f;
plot(x,error_f,'--');
% 后向误差
error_b = f1x - f1x_b;
plot(x,error_b,'-.');
% 中心误差
error_c = f1x - f1x_c;
plot(x,error_c,'o:','MarkerSize',3);
title('差分误差分析,dx=5*\pi/100','FontSize',20)
legend("前向误差","后向误差","中心误差",'FontSize',12)
hold off%% 差分误差分析,dx=5*pi/200
a = 200;
x = linspace(0,5*pi,a);fx = sin(x).*exp(-0.3*x);
f1x = cos(x).*exp(-0.3*x)-0.3*sin(x).*exp(-0.3*x);dx = 5*pi/a;
fx_0dx = sin(x+dx).*exp(-0.3*(x+dx));
fx_1dx = sin(x-dx).*exp(-0.3*(x-dx));f1x_f = (fx_0dx - fx)/dx;
f1x_b = (fx - fx_1dx)/dx;
f1x_c = (fx_0dx - fx_1dx)/(2*dx);hold on
% 前向误差
error_f = f1x - f1x_f;
plot(x,error_f,'--');
% 后向误差
error_b = f1x - f1x_b;
plot(x,error_b,'-.');
% 中心误差
error_c = f1x - f1x_c;
plot(x,error_c,'o:','MarkerSize',3);
title('差分误差分析dx=5*\pi/200','FontSize',20)
legend("前向误差","后向误差","中心误差",'FontSize',12)hold off

运行结果：

第一部分：原函数

第二部分：

细节图：
观察细节图：
由细节图可以观察出中心差分比前向后向差分都准确

第三部分：误差分析图

由这个误差分析图可以看出：中心差分（橙色的圆圈）的误差最小。

第四部分：修改采样频率，理论分析得知，采样频率越高，精度越高。

第三部分和第四部分对比，dx缩小1/2，误差缩小！

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