UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射2 电磁波的能量

在讨论电磁场的能量时，我们引入了Poynting矢量，为了描述波动，我们把电场与磁场描述为时空的复变函数，因此Poynting矢量也需要做一些修正：
S⃗=c8πE⃗×H⃗∗\vec S = \frac{c}{8 \pi} \vec E \times \vec H^*S=8πcE×H∗

H⃗∗\vec H^*H∗表示mangetic field的共轭，这里用magnetic field而不是magnetic induction是因为避免在公式中引入介电常数和磁导率，因为这两个值受介质属性的影响，在某些介质中可能是关于空间的函数，推导微分公式的时候也就需要把介电常数与磁导率也考虑进来，因此为了规避这些操作，让公式更简便，用magnetic field会更方便。下面展开Poynting矢量
S⃗=12c4π[(E⃗o,Re×H⃗0,Re+E⃗o,Im×H⃗0,Im)+i(E⃗o,Im×H⃗0,Re−E⃗o,Re×H⃗0,Im)]\vec S = \frac{1}{2} \frac{c}{4 \pi}[(\vec E_{o,Re} \times \vec H_{0,Re}+\vec E_{o,Im} \times \vec H_{0,Im}) \\ + i(\vec E_{o,Im} \times \vec H_{0,Re}-\vec E_{o,Re} \times \vec H_{0,Im})]S=214πc[(Eo,Re×H0,Re+Eo,Im×H0,Im)+i(Eo,Im×H0,Re−Eo,Re×H0,Im)]

于是
Re[S⃗]=c8π(E⃗o,Re×H⃗0,Re+E⃗o,Im×H⃗0,Im)Re[\vec S]=\frac{c}{8 \pi}(\vec E_{o,Re} \times \vec H_{0,Re}+\vec E_{o,Im} \times \vec H_{0,Im})Re[S]=8πc(Eo,Re×H0,Re+Eo,Im×H0,Im)

在非导体介质中，M⃗=0\vec M=0M=0，
H⃗=1μB⃗\vec H = \frac{1}{\mu} \vec BH=μ1B

上一讲推导了
B⃗0=μϵk^×E⃗0\vec B_0 = \sqrt{\mu \epsilon}\hat k \times \vec E_0B0=μϵk^×E0

因此
S⃗=c8πϵ/μ∣E⃗0∣2k^\vec S = \frac{c}{8 \pi}\sqrt{ \epsilon/\mu}|\vec E_0|^2 \hat kS=8πcϵ/μ∣E0∣2k^

其中∣E⃗0∣2|\vec E_0|^2∣E0∣2由实部与虚部构成，所以修正后的Poynting矢量是除以888而不是444。

考虑一个截面积为AAA，长度为vdtvdtvdt的区域，当电磁波穿过这个区域时，流经这个区域的能量为
uAvdt=S⃗⋅A⃗dtu=S⃗⋅n^vuAvdt = \vec S \cdot \vec Adt \\ u = \frac{\vec S \cdot \hat n}{v}uAvdt=S⋅Adtu=vS⋅n^

简单起见，假设S⃗\vec SS与外法线方向平行，则
u=μϵcc8πϵμ∣E⃗0∣2=ϵ8π∣E⃗0∣2u = \frac{\sqrt{\mu \epsilon}}{c} \frac{c}{8 \pi}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}|\vec E_0|^2=\frac{\epsilon}{8 \pi}|\vec E_0|^2u=cμϵ8πcμϵ∣E0∣2=8πϵ∣E0∣2

这个结论与Faraday的实验一致。

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