UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射6 波导

波导(wave guide)是用来定向引导电磁波的结构，它为我们研究边界条件对电磁波传播的影响提供了一个简单的模型。假设电磁波的形式为
E=Ewe−iwt,B=Bwe−iwt\textbf E = \textbf E_w e^{-iwt},\textbf B = \textbf B_w e^{-iwt}E=Ewe−iwt,B=Bwe−iwt

真空中的它适用的Maxwell方程为
∇×Ew=iwcBw∇⋅Ew=0∇×Bw=iμϵwcEw∇⋅Bw=0\nabla \times \textbf E_w = \frac{iw}{c} \textbf B_w \\ \nabla \cdot \textbf E_w = 0 \\ \nabla \times \textbf B_w = i \mu \epsilon \frac{w}{c}\textbf E_w \\ \nabla \cdot \textbf B_w = 0∇×Ew=ciwBw∇⋅Ew=0∇×Bw=iμϵcwEw∇⋅Bw=0

上面的方程可以改写为Helmholtz方程：
(∇2+w2c2)E=0(∇2+w2c2)B=0(\nabla^2+\frac{w^2}{c^2}) \textbf E = 0 \\ (\nabla^2 + \frac{w^2}{c^2}) \textbf B = 0(∇2+c2w2)E=0(∇2+c2w2)B=0

假设介质是一个截面形状任意的柱状体，则电场可以表示为
Ew=Ewt(x,y)eikgz\textbf E_w = \textbf E_{wt}(x,y)e^{ik_gz}Ew=Ewt(x,y)eikgz

第一项限制电磁波在截面内的形状；第二项表示电磁波在zzz轴方向的传播；假设磁场也可以类似表示；则Helmholtz方程可以写成：
(∂2∂x2+∂2∂y2+w2c2−kg2)Ewt(x,y)=0(∂2∂x2+∂2∂y2+w2c2−kg2)Ewt(x,y)=0(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) \textbf E_{wt}(x,y)=0 \\ (\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) \textbf E_{wt}(x,y)=0(∂x2∂2+∂y2∂2+c2w2−kg2)Ewt(x,y)=0(∂x2∂2+∂y2∂2+c2w2−kg2)Ewt(x,y)=0

我们可以先不急着解这个二阶的PDE，先回顾一下一阶的方程：
∇×Ew=iwcBw\nabla \times \textbf E_w = \frac{iw}{c} \textbf B_w ∇×Ew=ciwBw

xxx方向的分量为
∂∂yEwtz−ikgEwty=iwcBwtx\frac{\partial}{\partial y}E_{wtz}-ik_gE_{wty} = i\frac{w}{c}B_{wtx}∂y∂Ewtz−ikgEwty=icwBwtx

再考虑Ampere定律∇×Bw=−iwcEw\nabla \times \textbf B_w = -\frac{iw}{c}\textbf E_w∇×Bw=−ciwEw

yyy方向的分量为
−∂∂xBwtz+ikgBwtx=−iwcEwty-\frac{\partial}{\partial x}B_{wtz}+ik_gB_{wtx} =- i\frac{w}{c}E_{wty}−∂x∂Bwtz+ikgBwtx=−icwEwty

联合上面两个分量形式的方程，消去EwtyE_{wty}Ewty，
Bwtx=−i(wc)2−kg2(wc∂Ewtz∂y−kg∂Bwtz∂x)B_{wtx} = -\frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial E_{wtz}}{\partial y}-k_g \frac{\partial B_{wtz}}{\partial x} \right)Bwtx=−(cw)2−kg2i(cw∂y∂Ewtz−kg∂x∂Bwtz)

同理可以得到另外的分量：

Bwty=i(wc)2−kg2(wc∂Ewtz∂x+kg∂Bwtz∂y)Ewtx=i(wc)2−kg2(wc∂Bwtz∂y+kg∂Ewtz∂x)Ewty=−i(wc)2−kg2(wc∂Bwtz∂x−kg∂Ewtz∂y)B_{wty} = \frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial E_{wtz}}{\partial x}+k_g \frac{\partial B_{wtz}}{\partial y} \right) \\ E_{wtx} = \frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial B_{wtz}}{\partial y}+k_g \frac{\partial E_{wtz}}{\partial x} \right) \\ E_{wty} = -\frac{i}{(\frac{w}{c})^2-k_g^2}\left( \frac{w}{c} \frac{\partial B_{wtz}}{\partial x}-k_g \frac{\partial E_{wtz}}{\partial y} \right)Bwty=(cw)2−kg2i(cw∂x∂Ewtz+kg∂y∂Bwtz)Ewtx=(cw)2−kg2i(cw∂y∂Bwtz+kg∂x∂Ewtz)Ewty=−(cw)2−kg2i(cw∂x∂Bwtz−kg∂y∂Ewtz)

由此可见，只要我们能解出zzz方向的分量，我们就可以得到电磁波的方程了。在实践中有三种特殊情况：

transverse electric (Ewtz=0E_{wtz}=0Ewtz=0) 横电波或TE模
transverse magnetic (Bwtz=0B_{wtz}=0Bwtz=0) 横磁波或TM模
transverse electromagnetic 横电磁波或TEM模

这三种是电磁波在传输线中常见的三种模式。但即使在一般情况中，我们也只需要求解
(∂2∂x2+∂2∂y2+w2c2−kg2)Ewtz(x,y)=0(∂2∂x2+∂2∂y2+w2c2−kg2)Bwtz(x,y)=0(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) E_{wtz}(x,y)=0 \\ (\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) B_{wtz}(x,y)=0(∂x2∂2+∂y2∂2+c2w2−kg2)Ewtz(x,y)=0(∂x2∂2+∂y2∂2+c2w2−kg2)Bwtz(x,y)=0

例矩形传输线
假设导线截面为{(x,y,z):0≤x≤a,0≤y≤b}\{(x,y,z):0 \le x \le a,0 \le y \le b\}{(x,y,z):0≤x≤a,0≤y≤b}，则导线边界上的电场为0，电场与磁场的一般形式为
Ew=Ewt(x,y)eikgz,Bw=Bwt(x,y)eikgz\textbf E_{w} = \textbf E_{wt}(x,y)e^{ik_gz},\textbf B_{w} = \textbf B_{wt}(x,y)e^{ik_gz}Ew=Ewt(x,y)eikgz,Bw=Bwt(x,y)eikgz

且只需求解
(∂2∂x2+∂2∂y2+w2c2−kg2)Ewtz(x,y)=0(∂2∂x2+∂2∂y2+w2c2−kg2)Bwtz(x,y)=0(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) E_{wtz}(x,y)=0 \\ (\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{w^2}{c^2}-k_g^2) B_{wtz}(x,y)=0(∂x2∂2+∂y2∂2+c2w2−kg2)Ewtz(x,y)=0(∂x2∂2+∂y2∂2+c2w2−kg2)Bwtz(x,y)=0

如果是TM模，则第二个方程中Bwtz=0B_{wtz}=0Bwtz=0，第一个方程的一般解为
Ewtz=E0sin⁡(kxx)sin⁡(kyy),kx=mπa,ky=nπb,m,n∈Nkg2+kx2+ky2=w2c2⇒kg2=w2c2−π2(m2a2+n2b2)E_{wtz} = E_0 \sin(k_x x)\sin(k_yy),k_x= \frac{m \pi}{a},k_y = \frac{n \pi }{b},m,n \in \mathbb{N} \\ k_g^2+k_x^2+k_y^2 = \frac{w^2}{c^2}\Rightarrow k_g^2 = \frac{w^2}{c^2}-\pi^2(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})Ewtz=E0sin(kxx)sin(kyy),kx=amπ,ky=bnπ,m,n∈Nkg2+kx2+ky2=c2w2⇒kg2=c2w2−π2(a2m2+b2n2)

通过调整导线的尺寸a,ba,ba,b，我们可以通过控制kgk_gkg来改变电磁波沿zzz方向传播的形式(with attenuation or without attenuation etc.)。

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