高等数学:第三章 微分中值定理与导数的应用(2)函数单调性 极值 最大值 最小值
§3.4 函数的单调性
一、从几何图形上看函数的单调性
运行matlab程序gs0303.m,可得到函数与它的导函数在上的图象,从图形上可以观察到:
函数在上是单调减少,在上是单调增加;
其导函数在上小于零,在上大于零。
函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此,我们进一步地作图,希望从中获得更多的感性认识。
函数在上单调增加(减少),则它的图形是一条沿轴正向上升(下降)的曲线, 曲线上各点处的切线之斜率均为正的(负的),即:
()
这表明:函数的单调性确实与其导数的符号有关,因此,可以利用导数的符号来判定函数的单调性。
二、函数单调性的判别法
设函数在上连续, 在上可导,,则
若在内,则,从而 ;
即: 函数在上单调增加;
若在内,则,从而 ,
即: 函数在上单调减少。
综上讨论, 我们有如下结论:
【函数单调性判别法】
设函数在上连续, 在上可导,
(1)、若在内, 则在上单调增加;
(2)、若在内, 则在上单调减少。
注明:
1、判别法中的闭区间若换成其它各种区间(包括无穷区间),结论仍成立。
2、以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。
【例1】讨论函数的单调性。
解:函数的定义域为, 且
当时, , 故函数在上单调减少;
当时, , 故函数在上单调增加。
【例2】讨论函数的单调性。
解: 函数的定义域为,
当时, , , 故函数在上单减;
当时, , , 故函数在上单增。
因此,可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点,将函数的定义域分划成若干个部分区间,再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号,继而可决定函数在这些部分区间上的单调性。
【例3】试确定函数 的单调区间。
解: 当时,函数无定义, 故函数在处不可导;
当时, 导函数为
令 得:
于是, 点将函数定义域( )分划成四个区间 、、、,函数在这四个区间上的单调性如下:
在上, , 函数单增;
在 上, , 函数单减;
在 上, , 函数单减;
在 上, , 函数单增。
【例4】讨论函数的单调性。
【结论】
一般地,如果在某区间上的有限个点处为零, 而在其余各点处均为正(或负)时,那么在该区间上仍是单调增加(或单调减少)的。
利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。
【例5】试证明:当时, 有
解:作辅助函数 ,
,
,
当时, , ,
故 ,
在上单调增加,从而有 ,
而 ,
于是 ,在上也单调增加。
从而有 ,
即 。
该证明方法十分典型,对于一些较精细的函数不等式的证明可借助些法。
§3.5 函数的极值及其求法
一、极值的定义
设函数在区间内有定义,点是内的一点。若存在点的一个邻域,对于该邻域内任何异于的点,不等式
()
成立,称是函数的一个极大值(极小值);称点是函数 的极大值点(极小值点)。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值;
使函数取得极值的点统称为极值点。
关于函数的极值,如下几点注记是十分重要的。
1、函数的极值概念是一个局部概念。
如果是函数的一个极大值,那只是对的一个局部范围来说是的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说,就不一定是最大值了。
对于极小值也是类似的。
2、极小值有可能较极大值更大。
如图: ( 是极大值, 而是极小值 )
从图中可看出,在函数取得极值之处,曲线具有水平的切线。换句话说:函数在取得极值的点处,其导数值为零。
二、函数取得极值的几个重要定理
【定理一】(可导函数取得极值的必要条件)
设函数在点处具有导数,且在处取得极值,则。
证明:不妨设是极大值 (极小值的情形也可类似地证明)
据极大值定义, 在的某个邻域内, 对一切异于的点,
均有 成立。
当时,,
因此 ;
当时,,
因此 ,
从而 。
使导数为零的点(即方程的实根)称为函数的驻点。
定理一的结论可换成等价的说法:
可导函数的极值点必定是为驻点。
反过来,函数的驻点不一定就是函数的极值点,它最多只是可能的极值点。
【定理二】( 函数取得极值的第一充分条件 )
设函数在点的某个邻域内可导,且
(1)、当取左侧的值时,恒为正;当取右侧的值时,恒为负,那么,在处取得极大值;
(2)、当取左侧的值时,恒为负;当取右侧的值时,恒为正,那么,在处取得极小值;
(3)、当取左右两侧的值时,恒正或恒负,那么,在处没有极值。
下面,我们给出第一充分条件的记忆方法:
一般 + 号往往表示得分,盈利等吉利的事情,蕴含有增加的意思,我们可解释 + 号表示走好运,走上坡路。
而 - 号又往往表示扣分、亏损等不吉利的事情,它含有减少的意思,我们可解释 - 号为走背运,走下坡路。
当在附近由左变到右时,符号由正变到负(),则曲线是先走上坡路,再走下坡路,呈 型,故是极大值;
当在附近由左变到右时,符号由负变到正(),则曲线是先走下坡路,再走上坡路,呈 型,故是极小值。
【例1】求函数的极值。
解:函数的定义域为,且
,
令 , 可得到函数的可能极值点(驻点):。
当 时, ,
当 时, ,
故 是函数的极大值点,且函数的极大值为
。
当 时,,
故 是函数的极小值点,且函数的极小值为
。
【定理三】(函数取得极值的第二充分条件)
设函数在点处具有二阶导数, 且、, 则
(1)、当时, 函数在处取得极大值;
(2)、当时, 函数在处取得极小值。
下面对情形(1)给出证明, 情形(2)的证明完全类似。
由于 ,有
据函数极限的性质, 当在的一个充分小的邻域内且时,
而 ,即
于是,对于这邻域内不同于的来说, 与的符号相反,
即:当, 时, ,
当, 时, ,
据定理二知:在点处取极大值。
对极值判定的第二充分条件来说,如下注记是重要的。
1、对于二阶可导的函数,它在驻点的二阶导数的符号可判定函数值为何种极值。
如果,则第二充分条件失效。请看下述反例:
这三个函数在原点处的一阶、二阶导数均为零,它们分别有极小值、极大值,无极值。
2、极值判定的第二充分条件的记忆方法
【例2】求函数的极值。
解:,
令, 得驻点
,
, 函数有极小值
而 , 用第二充分条件无法进行判定, 考察函数的一阶导数在的左右两侧邻近值的符号。
当取的左右侧邻近的值时,;
当取 1 的左右侧邻近的值时,,
故函数在处没有极值。
三、函数在不可导点处的极值判定
前面的讨论中, 都假定了函数在所讨论的区间内是可导的这一条件。如果函数在某些点处的导数不存在, 函数在这些点处有可能取得极值吗?
换句话说,使函数不可导的点,是可疑的极值点吗?
【例4】讨论函数的极值。
这两例所反映的事实说明:
函数的不可导点,也是函数可疑的极值点,在讨论函数的极值时,应予以考虑。
六、结论
求函数在定义区间上的极值,先找出函数在该区间上的可疑极值点(使函数的一阶导数为零或不存在的点),再运用极值判定的第一或第二充分条件,对这些可疑极值点是否确实为极值点进行判定。
§3.6 最小值与最大值问题
一、闭区间上连续函数的最值
综上讨论,函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内导数为零、导数不存在的点。计算函数在这些点处的函数值,比较它们的大小就可得到函数的最值。
【例1】求函数在上的最值。
二、非闭区间上定义的函数最值
对于非闭区间上定义的函数,它有可能存在着最值,也有可能不存在着最值,这就给求函数最值带来了困难。
探讨函数最值,可先求函数的可疑极值点(驻点,导数不存在的点),并讨论由这些点所形成的区间上函数的单调性,再利用函数的性态来判断函数在这些可疑点处是否有最值。
下面以例子来说明具体求法。
【例2】求函数 在定义区间 上的最值。
【例3】求函数在 的最值。
三、实用最值应用问题
利用求函数的最值来处理实际问题,有如下几个步骤:
1、据实际问题列出函数表达式及它的定义区间;
2、求出该函数在定义区间上的可能极值点(驻点和一阶导数不存在的点);
3、讨论函数的单调性,确定函数在可能极值点处是否取得最值。
【例4】试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高,并求此体积的最大值。
解:设球心到锥底面的垂线长为,则圆锥的高为,圆锥面底面半径为,圆锥体积为
由 ,得驻点,
在上,,函数单增;
在上,,函数单减,
故是函数的最大值点,是函数的最大值。
于是最大的体积为,此时的高为。
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