高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（4）函数的单调性
§3.4 函数的单调性
在
上小于零，在
上大于零。
函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此，我们进一步地作图，希望从中获得更多的感性认识。
函数
在
上单调增加(减少)，则它的图形是一条沿
轴正向上升(下降)的曲线， 曲线上各点处的切线之斜率均为正的(负的)，即：
(
)
这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定函数的单调性。
二、函数单调性的判别法
设函数在上连续， 在
上可导，
，则
若在内
，则
，从而 
；
即： 函数在
上单调增加；
若在内
，则
，从而 
，
即： 函数在上单调减少。
综上讨论， 我们有如下结论：
【函数单调性判别法】
设函数在上连续， 在上可导，
(1)、若在内， 则在上单调增加；
(2)、若在内， 则在上单调减少。
注明：
1、判别法中的闭区间若换成其它各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。
2、以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。
【例1】讨论函数
的单调性。
解：函数的定义域为
， 且
当
时， 
， 故函数在
上单调减少；
当
时， 
， 故函数在
上单调增加。
【例2】讨论函数
的单调性。
解： 函数的定义域为，
当时， 
， 
， 故函数在上单减；
当时， 
， 
， 故函数在上单增。
因此，可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点，将函数的定义域分划成若干个部分区间，再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号，继而可决定函数在这些部分区间上的单调性。
【例3】试确定函数 
的单调区间。
解： 当
时，函数无定义， 故函数在处不可导；
当
时， 导函数为 
令
得： 
于是， 点
将函数定义域( )分划成四个区间 
、
、
、
，函数在这四个区间上的单调性如下：
在上， ， 函数
单增；
在 上， ， 函数单减；
在 上， ， 函数单减；
在 上， ， 函数单增。
【例4】讨论函数
的单调性。
【结论】
一般地，如果
在某区间上的有限个点处为零， 而在其余各点处均为正(或负)时，那么
在该区间上仍是单调增加(或单调减少)的。
利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。
【例5】试证明：当
时， 有 
解：作辅助函数 
，
，
，
当
时， 
， 
，
故 
，
在
上单调增加，从而有 
，
而 
，
于是 ，在上也单调增加。
从而有 
，
即 
。
该证明方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助些法。
高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（4）函数的单调性相关推荐
- 高等数学---第三章微分中值定理及导数应用---拉格朗日中值定理的应用
1拉格朗日定理的伟大意义 拉格朗日定理的伟大意义是把函数的整体形态与导数的局部形态联系起来 2拉格朗日中值定理证明不等式 3拉格朗日中值定理求极限 4拉格朗日中值定理做证明题
- ITer必备数学思维——同济大学高等数学上册第三章微分中值定理与导数的应用以及每日一题
第三章.微分中值定理与导数的应用 知识逻辑结构图 考研考试内容 微分中值定理,洛必达法则,函数单调性的差别(利用导数),函数的极值(极值的判定:定义一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号,二阶可导且该点一 ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（1）中值定理
§3.1 中值定理 一.罗尔定理 若在闭区间上连续,开区间内可导,且,则至少存在一点,使. 在证明罗尔定理之前,我们先来描述一下它的几何意义. 为了使同学们更直观地看到这一点,我们在计算机上做一个动 ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（3）曲线的凹凸 拐点 曲率
§3.7 曲线的凹凸与拐点 一.引例 研究了函数的单调性.极性,对于函数的性态有了更进一步的了解.为了描绘出函数的图象的主要特征,仅凭此两点还是不够的. [引例]作函数与在 上的图象. 曲线的凹凸 ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）函数单调性 极值 最大值 最小值
§3.4 函数的单调性 一.从几何图形上看函数的单调性 运行matlab程序gs0303.m,可得到函数与它的导函数在上的图象,从图形上可以观察到: 函数在上是单调减少,在上是单调增加: 其导函数在 ...
- 【考研高数-高等数学-基础】第三章 微分中值定理及导数应用
文章目录: 一:微分中值定理 定理1 费马原理 定理2 罗尔定理
- 第三章 微分中值定理与导数的应用
参考文献 高昆轮 2019考研数学 点进去你会发现新大陆:考研数学证明题的那些事CSDN.知乎 一.微分中值定理 罗尔定理 设 f(x)满足 {[a,b]上连续 (a,b)内可导 f(a)=f(b), ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）罗必达法则
§3.2 罗必达法则 当( 或)时,两个函数与都趋向于零或都趋向于无穷大,那么,极限可能存在,也可能不存在.通常把这种极限叫做不定式,并分别简记为型或型. 对不定式,不能简单地用"商的极限 ...
- 高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（8）曲率
§3.9 曲率 一.弧微分 1.有向曲线与有向线段的概念 给定曲线,取曲线上一固定点作为度量弧长的基点.规定:曲线的正向为依增大的方向. 对曲线上任一点,弧段是有向弧段,它的值规定如下: (1).的 ...
最新文章
- TensorFlow练习7: 基于RNN生成古诗词
- 【Android 插件化】静态分析应用 APK 安装包是否使用了插件化引擎 ( 虚拟化引擎运行特点 | 恶意软件特点 )
- 单高斯分布模型GSM，高斯混合模型GMM
- Ubuntu终端Terminal常用快捷键
- J2EE中一些常用的名词【简】
- []int 能转换为 []interface 吗？
- tortoisegitpull 并合_tortoiseGIT 本地分支创建合并
- python主循环方法mainloop_python gobject.mainloop吞噬信号事件
- 逆序数问题，用归并排序而非树状数组求解
- 分解连续自然数的和_小学奥数各年级经典题解题技巧大全——分解因数法（2）...
- PyCherm的常用快捷键总结
- python行业缺口_根据缺口的模式选股买股票，python 学习代码
- python桌面程序打开慢_转 : 终于搞清楚了为什么Java桌面程序总是感觉慢的原因...
- 1.12 改善你的模型的表现
- linux 脚本追加最后命令,linux中sed命令批量修改
- html 自适应 音乐播放器,使用HTML5+Boostrap打造简单的音乐播放器
- java开发是it行业吗_转行IT行业为什么选择学习Java开发
- 浅谈Web大数据可视化平台开发流程
- 面向对象设计原则_面向对象的设计原则
- JavaScript混淆安全加固