高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（8）曲率
§3.9 曲率
一、弧微分
1、有向曲线与有向线段的概念
给定曲线
，取曲线上一固定点
作为度量弧长的基点。规定：曲线的正向为依
增大的方向。
对曲线上任一点
，弧段
是有向弧段,它的值
规定如下：
(1)、的绝对值
等于该弧段的长度。
(2)、当有向弧段的方向与曲线正向一致时，
,相反时 
。
有向弧段以后简称弧。显然,弧是的函数,即
，而且是的单调增加函数。
【例1】求曲线
的弧。
解：选择
，对其上任一点，弧的长度是 
。依弧的规定有：
若
在
的右侧，即
，则
，应取 
；
若在的左侧，即
，则
，应取 。
总之，
，显然弧确为的单增函数。
2、弧的导数与微分
设函数
的导函数
在
上连续，又设， 
为内两点，在曲线上的对应点分别为
与
，取为曲线上的一固定点为
。再设对应于的增量
，弧的增量为
,有
令
，则
，
，
, 
故 
因是的单调函数，根号前应取正号，于是
或 
进一步地改写可得弧微分公式
所代表的几何意义如下图所示：
二、曲率及其计算公式
1、曲率的概念
直觉与经验告诉我们：直线没有弯曲，圆周上每一处的弯曲程度是相同的，半径较小的圆弯曲得较半径较大的圆要厉害些，抛物线在顶点附近弯曲得比其他位置厉害些。
何为弯曲得厉害些? 即： 用怎样的数学量来刻划曲线弯曲的程度呢? 让我们先弄清曲线的弯曲与哪些因素有关。
下面，我们给出刻划曲线弯曲程度的数学量 － 曲率的定义。
设曲线
具有连续转动的切线，在上选定一点作为度量弧的基点。
设曲线上的点对应于弧，切线的倾角为
，曲线上的另一点
对应于弧
，切线的倾角为
。那么，弧段
的长度为 
，当切点从移到点时，切线转过的角度为 
。
比值
表示单位弧段上的切线转角，刻划了弧
的平均弯曲程度。称它为弧段的平均曲率。记作 
。
当
时(即：
)，上述平均曲率的极限就称着曲线在点处的曲率，记作
。
(1)
当
存在时，有 
。
由上述定义知，曲率是一个局部概念，谈曲线的弯曲应该具体地指出是曲线在哪一点处的弯曲，这样才准确。
2、曲率的计算
【例2】求半径为
的圆上任一点处的曲率。
圆周上的任一点处的曲率均为
，这表明：圆周的弯曲程度处处一样， 且半径较小的圆周弯曲得更厉害些。
由例一可发现，利用曲率定义来计算曲率十分不便。下面，我们来推导曲线的曲率计算公式。
设曲线的直角坐标方程为 ，且
具有二阶导数。
（
是曲线的切线与 
轴正向夹角）
两边对 求导得 
， 
又 
据曲率计算公式(1)有：
(2)
若曲线为直线
，因
，那么 
。故直线的曲率为零。亦即：直线无弯曲。这与我们的常识是一致的。
假设曲线方程是参数方程 
给出
则(2)式可相应地改成形式：
，
，
(3)
【例3】求抛物线
上任一点的曲率。
运行程序gs0304.m,可获得抛物线与其曲率函数的图象。
【例4】求立方抛物线
上任一点的曲率。
运行程序gs0305.m,可得立方抛物线与它的曲率函数的图象。
三、曲率圆与曲率半径
据上述定义有：
1、曲率与曲率半径的关系为：
2、曲线与它的曲率圆在同一点处有相同的切线，曲率，凹向。因此，可用圆率圆在点处的一段圆弧来近似地替代曲线弧。
下面推导曲率圆中心
的坐标计算公式。
设的坐标为
，曲线在点
处的曲率圆方程为
其中：
是动点坐标， 而
(1)
因点在曲率圆上，故
(2)
又曲线在点处的切线与曲率圆的半径
垂直，故有
，
亦即：
(3)
(4)
由式(2)与式(4)消去
得：
注意到：当
，即曲线为凹弧时，
；
当
，即曲线为凸弧时，
，
总之
与
异号，因此，上式两边开方应取“ - ”号，有
将此式代入(3)式，有 
，从而得
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