矩阵是怎样变换向量的

可以将矩阵对向量的转换理解为对向量所在坐标系的转换。

1.向量的每个坐标都表明了平行于相应轴的偏移量，所以向量可以改写成如下形式：

v = [x y z]

= [x 0 0] + [0 y 0] + [0 0 z]
= x [1 0 0] + y [0 1 0] + z [0 0 1]

设向量p,q,r分别为指向+x,+y和+z方向的单位向量

i = [1 0 0]
j = [0 1 0]
k = [0 0 1]

带入以上公式则有：

v = xi +yj +zk

这里i,j和k可以称为基向量,一个坐标系能够用任意3个线性无关的基向量定义，向量可以表示为基向量的线性组合。

2.M是矩阵，与基向量相乘：

向量v与矩阵M相乘有：

这里将iM,jM和kM改为p,q和r

p = iM

q = jM

r = kM

则有：

因为坐标系能用任意3个基向量定义，所以这里可以将M的行解释为坐标系的基向量。

v乘以M就相当于执行了一次坐标转换，原有的基向量i,j和k转换为了新的基向量r,p和q。

若有vM = a,就可以说，M将v转换到a.

3.实例：2d中的矩阵转换

看下列2*2的矩阵

从矩阵中抽出基向量p和q

p = [2,1]

q = [-1,2]

经过矩阵转换后，原来的基向量+x转换为了p,+y转换为了q

当然，所有向量都被转换了

以一张矩形图片来形象的展示变换，左边为变化前，右边为变换后：

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