#include<iostream>
#include<string.h>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<ctype.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<queue>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll mod=9973;
const int maxn=1e4+10;
const int maxk=5e3+10;
const int maxx=1e4+10;
const ll maxe=1000+10;
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f
#define Lson l,mid,rt<<1
#define Rson mid+1,r,rt<<1|1
int n;
ll k;
struct matrix
{int a[15][15];
}ans,res;
void init()
{memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));for(int i=0;i<n;i++){ans.a[i][i]=1;//相当于整数快速幂里面的初值1 ，这里是一个单位矩阵for(int j=0;j<n;j++){cin>>res.a[i][j];//初值
        }}
}
matrix multiply(matrix x,matrix y)
{matrix temp;memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){for(int l=0;l<n;l++){temp.a[i][j]+=x.a[i][l]*y.a[l][j];if(temp.a[i][j]>mod) temp.a[i][j]%=mod;}}}return temp;
}
void Quickpow()
{while(k){if(k&1){ans=multiply(ans,res);//这里跟整数快速幂几乎一样
        }res=multiply(res,res);k>>=1;}
}
int main()
{int t;cin>>t;while(t--){ll sum=0;cin>>n>>k;init();Quickpow();for(int i=0;i<n;i++)sum+=ans.a[i][i];sum%=mod;cout<<sum<<endl;}return 0;
}

In the Fibonacci integer sequence, F₀ = 0, F₁ = 1, and F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

.

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of F_n.

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

For each test case, print the last four digits of F_n. If the last four digits of F_n are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print F_n mod 10000).

As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by

.

Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:

.

这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般a[n]与a[n-1]都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个a[n],主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把a[n-1]转移到Aa[n];然后这就是个等比数列，直接写出通项:此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到a[n],这里a[n]就两个元素(两个位置)，根据自己设置的a[n]对应位置就是对应的值，按照上面矩阵快速幂写法，ans.a[0][0]=f(n)就是我们要求的。

注意构造的时候要构造为一个方阵，就是在原来构造的基础上补上0

看代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<ctype.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<queue>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll mod=10000;
const int maxn=1e9+10;
const int maxk=5e3+10;
const int maxx=1e4+10;
const ll maxe=1000+10;
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f
#define Lson l,mid,rt<<1
#define Rson mid+1,r,rt<<1|1
int n;
struct matrix
{ll a[3][3];
}ans,res;
void init()
{res.a[0][0]=1;res.a[0][1]=1;res.a[1][0]=1;res.a[1][1]=0;ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=0;ans.a[1][0]=0;ans.a[1][1]=1;
}
matrix multiply(matrix x,matrix y)
{matrix temp;memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){for(int k=0;k<2;k++){temp.a[i][j]=(temp.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;}}}return temp;
}
void Quickpow()
{while(n){if(n&1){ans=multiply(ans,res);}res=multiply(res,res);n>>=1;}
}
int main()
{while(cin>>n){if(n==-1) break;if(n==0) cout<<0<<endl;else if(n==1) cout<<1<<endl;else{n--;init();Quickpow();cout<<ans.a[0][0]<<endl;}}return 0;
}

给一些简单的递推式
1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）