矩阵变换:矩阵是怎样变换向量的
可以将矩阵对向量的转换理解为对向量所在坐标系的转换。
1.向量的每个坐标都表明了平行于相应轴的偏移量,所以向量可以改写成如下形式:
v = [x y z]
= [x 0 0] + [0 y 0] + [0 0 z]
= x [1 0 0] + y [0 1 0] + z [0 0 1]
设向量p,q,r分别为指向+x,+y和+z方向的单位向量
i = [1 0 0]
j = [0 1 0]
k = [0 0 1]
带入以上公式则有:
v = xi +yj +zk
这里i,j和k可以称为基向量,一个坐标系能够用任意3个线性无关的基向量定义,向量可以表示为基向量的线性组合。
2.M是矩阵,与基向量相乘:
向量v与矩阵M相乘有:
这里将iM,jM和kM改为p,q和r
p = iM
q = jM
r = kM
则有:
因为坐标系能用任意3个基向量定义,所以这里可以将M的行解释为坐标系的基向量。
v乘以M就相当于执行了一次坐标转换,原有的基向量i,j和k转换为了新的基向量r,p和q。
若有vM = a,就可以说,M将v转换到a.
3.实例:2d中的矩阵转换
看下列2*2的矩阵
从矩阵中抽出基向量p和q
p = [2,1]
q = [-1,2]
经过矩阵转换后,原来的基向量+x转换为了p,+y转换为了q
当然,所有向量都被转换了
以一张矩形图片来形象的展示变换,左边为变化前,右边为变换后:
注:更多内容参考3d数学基础第2版
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