形象理解线性代数（三）——列空间、零空间（核）、值域、特征值（特征向量）、矩阵与空间变换、矩阵的秩

这里，我们还是要以形象理解线性代数（一）——什么是线性变换？为基础。矩阵对向量的作用，可以理解为线性变换，同时也可以理解为空间的变换，即（m*n）的矩阵会把一个向量从m维空间变换到n维空间。

一、矩阵的列空间与矩阵的秩以及值域的关系

矩阵的列空间，其实就是矩阵的列所组成的空间。比如我们考虑一个（3*2）的矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} &a_{22} \\a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} =[\begin{matrix} A^1&A^2 \end{matrix}]$ ,他的列空间就是 $A^1$ 向量和 $A^2$ 向量所能组成的空间。在这里，我们有两个向量，所以矩阵的列秩为2（在两向量线性不想关的情况下，表现在图中即两个向量不共线）。如果共线，那么向量 $A^2$ 可以写成 $A^1$ 的线性表示，这个时候，这两个向量所张成的空间只能是一条直线，所以秩变成了1。

一个矩阵 $A_{m*n}$ 中的m和n不能等价于矩阵的秩。矩阵的秩，其实就是矩阵的列空间所张成的空间的维度。矩阵的秩的意义是列向量所能张成的空间的形状的一种描述，虽然在三维空间中，列向量张成的空间中的任一个向量要用三维坐标来表示，但是并不意味着这个空间是一个三维的体，而是一个面，只不过这个面是带有角度的。

从线性变换的角度理解的值域，其实就是从空间角度理解的矩阵的列空间。

二、矩阵与空间变换

同样我们考虑上面的矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} &a_{22} \\a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} =[\begin{matrix} A^1&A^2 \end{matrix}]$ ，言外之意就是把二维空间转化为三维空间。在原二维空间中的一个向量 $\overrightarrow{x}=[\begin{matrix} x_1\\x_2 \end{matrix}]$ ，经过矩阵A变换后，可以写成： $\overrightarrow{v}=A\overrightarrow{x}=x_1A^1+x_2A^2$ ,即 $A^1$ 向量和 $A^2$ 向量的线性组合。两个向量（不共线）只能组成平面，而不能形成一个立方体。也就是说，输入 $\overrightarrow{x}$ 的定义域是一个二维平面，而输出（值域）同样也会是一个平面，只不过这个平面是在三维空间中的一个带有角度的平面。而这个空间变换的值域，其实就是上面所说的，矩阵的列空间所张成的平面。

三、零空间

零空间是 $A\overrightarrow{x}=0$ 的 $\overrightarrow{x}$ 所张成的空间。如果说除去 $\overrightarrow{x}=0$ 零空间还存在，那么就一定意味着空间是被压缩了的，因为只有压缩之后才能把一条直线压缩到零点上。言外之意，矩阵A的列秩不满，矩阵A的列向量具有线性相关性。

四、矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量，是对方阵而言，非方阵没有这个概念。言外之意，就是将n维空间变换到n维空间。

我们来看特征值和特征向量的定义， $A\overrightarrow{x}=\lambda x$ 。我们来结合矩阵与空间变换的理解，矩阵对向量的作用，就是相当于把原来的空间变换到新的空间；如果我们用矩阵是线性变换的理解（形象理解线性代数（一）——什么是线性变换？），那么说就是对原来的基底的变换。

从空间的角度来理解，对于向量 $\overrightarrow{x}$ 乘以系数 $\lambda$ 其实就是对向量的缩放（长度或正负方向发生改变，但还是在同一直线上），而矩阵（方阵） $A$ 的作用是空间的转变。如果一个矩阵对一个向量的作用只是对其进行了缩放，而没有角度的改变，那么这个向量就叫做特征向量，而缩放的比例就叫做特征值。

对于 $B\overrightarrow{x}=(A-\lambda I)\overrightarrow{x}=0$ ,其实就是相当于B矩阵对向量 $\overrightarrow{x}$ 的作用，使得某个向量压缩到零点，也就意味着矩阵B非满秩，也就意味着B的行列式为0。所以我们可以用 $det(B)=det(A-\lambda I)=0$ 来求解 $\lambda$ 。

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