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Bresenham算法

前两种算法把效率提高到了整数加法级别，只讲效率，基本已经可以说是最快了。但是，两者均严重依赖直线方程，那么，有没有算法在保证算法效率的同时能够扩大使用范围，将画线算法适用的范围变得更加广泛呢？（曲线等）——即是下面要介绍的Bresenham算法。

算法思想

Bresenham早在1962年就发表了该算法，该算法结合DDA与中点画线法的优势，它的思路是构造一个由各行各列象素中心构造一组虚拟的网格线，按照直线起点到终点的顺序，计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列像素中与此交点最近的像素。

假设按照如下图的方向步进、判断，x每次++，y是否递增取决于直线与最近像素点中心的距离，也即以0.5为界，与d=d+k比较，判断直线具体在哪个像素点内。另外，一旦d>=1，就执行d-=1操作，以保证d的相对性，使它在0,1之间

基于该算法的改进

由于前面的算法已经可以把直线绘制效率提高到整数加法级别了，因此虽然这个思路有优势，但如果不把它也提高到相同级别，也还是白搭。下面是对其效率提高的探索。

改进1

令e=d-0.5，这样判断条件就从d与0.5这个浮点数比较，变为了e与0比较大小。

此时e的初值是-0.5，每走一步有e+=k，要保持e不要太大可以有:if(e>0)e-=1 *这里没有用e>0.5作判断条件，也是因为想避免浮点数的出现。理解时可以举个例子试一下，效果跟e>0.5是一样的。

改进2

根据斜率的定义，k=（y2-y1）/（x2-x1），由于现在判断条件不等式的一边是0，因此可以同乘一下把e化为整数，即使用2*e*(x2-x1)替换原来的e，而e初值中的浮点数也一并化为了整数。

*这里根据前面的假设默认x2>x1

改进后的算法步骤

读取两点坐标
计算初始值△x=x2-x1，△y=y2-y1，e=-△x，x=x1，y=y1......依然假设x2>x1，在实际编程中需要判断一下
绘制点（x，y）
e+=2*△y，判断e的正负决定要描的像素点
循环3,4直到绘制完成

程序如下

public class Bresenham extends JFrame {private int x1 , x2 , y1 , y2 , e;public Bresenham( int x1 , int y1  , int x2 , int y2 ){super();setTitle("Bresham直线绘制算法");setSize(800,600);setVisible(true);this.x1 = x1;this.x2 = x2;this.y1 = y1;this.y2 = y2;bresenhamDrawLine(x1 , y1 , x2 , y2 );}private void bresenhamDrawLine(int x1 , int y1 , int x2 , int y2){if (abs(x2-x1)>abs(y2-y1)){         //按x方向递增if (x1 > x2){int temp = x1;x1 = x2;x2 = temp;temp = y1;y1 = y2;y2 = temp;}e = x1 - x2;drawPixel(x1,y1);for (int i = x1 , j = y1 ; i < x2 ; i++){e += 2*(y2 - y1);if (e > 0){j++;drawPixel(i,j);}else {drawPixel(i,j);}}}else {if (y1 > y2){int temp = y1;y1 = y2;y2 = temp;temp = x1;x1 = x2;x2 = temp;}e = y1 - y2;drawPixel(x1,y1);for (int j = y1 , i = x1 ; j < y2 ; j++){e += 2*(y2 - y1);if (e>0){i++;drawPixel(i,j);}else {drawPixel(i,j);}}}}

通过以上我们可以看出，Bresenham算法并没有去求k，b亦或是A，B，C，仅仅是通过两点坐标去绘制直线，不限定直线方程类型，集合DDA与中点画线法优势，应用更广泛。

小结

读过这三种算法，我们经历了一个算法不断优化，精益求精的过程，领略了图形学的魅力所在。这些算法中所蕴含的思想是值得我们用心揣摩、领悟的，这对于以后的学习会有很大帮助，比如从二维到三维的直线绘制等。

另外，我们可以看得出，算法中永远没有“最优”，只有不断的改进。我们要勤于思考，发散思维，发现算法的不足并思考改进方案。

下面是一些可以大致读得懂的知网论文，笔者只看过一篇，感兴趣大家可以去看一看作为扩展

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