【计算机图形学】基本图形元素：直线的生成算法

08年9月入学，12年7月毕业，结束了我在软件学院愉快丰富的大学生活。此系列是对四年专业课程学习的回顾，索引参见：http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/7747205

直线的DDA算法

【算法介绍】

设直线之起点为(x1，y1)，终点为(x2，y2)，则斜率m为：

直线中的每一点坐标都可以由前一点坐标变化一个增量(Dx, Dy)而得到，即表示为递归式：

并有关系：Dy = m • Dx。递归式的初值为直线的起点(x1, y1)，这样，就可以用加法来生成一条直线。具体方法是：

直线方向的8个象限

按照直线从(x1，y1)到(x2，y2)的方向不同，分为8个象限。对于方向在第1a象限内的直线而言，D x=1，D y=m。对于方向在第1b象限内的直线而言，取值Dy=1，Dx=1/m。各象限中直线生成时Dx, Dy的取值列在下表之中。

当|dx|>|dy|时，|D x|=1, |D y|=m；否则：Dx=1/m，|Dy|=1

Dx, Dy的符号与dx, dy的符号相同

这两条规律可以导致程序的简化

【算法流程图】

【相关代码】

void PaintArea::drawLineDDA(QPainter &painter,int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)

{

int dx=xEnd-x0,dy=yEnd-y0,steps,k;

float xIncrement,yIncrement,x=x0,y=y0;

if(fabs(dx)>fabs(dy)) steps=fabs(dx);

else steps=fabs(dy);

xIncrement=float(dx)/float(steps);

yIncrement=float(dy)/float(steps);

painter.drawPoint(round(x),round(y));

for(k=0;k

x+=xIncrement;

y+=yIncrement;

painter.drawPoint(round(x),round(y));

}

}

直线的Bresenham算法

这个算法由Bresenham在1965年提出。设直线从起点(x1, y1)到终点(x2, y2)。直线可表示为方程y=mx+b。其中

我们的讨论先将直线方向限于1a象限在这种情况下，当直线光栅化时，x每次都增加1个单元，即

而y的相应增加应当小于1。为了光栅化，yi+1只可能选择如下两种位置之一(如图)。

i+1的位置选择yi-1=yi 或者 yi+1=yi+1

选择的原则是看精确值y与yi及yi+1的距离d1及d2的大小而定。计算式为：

如果d1-d2>0，则yi+1=yi+1，否则yi+1=yi。因此算法的关键在于简便地求出d1-d2的符号。将上公式得

d1-d2=2y-2yi-1=2 (xi+1)-2yi+2b-1

用dx乘等式两边，并以Pi=dx(d1-d2)代入上述等式，得

Pi=2xidy-2yidx+2dy+dx(2b-1)

d1-d2是我们用以判断符号的误差。由于在1a象限，dx总大于0，所以Pi仍旧可以用作判断符号的误差。Pi-1为：

Pi+1=Pi+2dy-2dx(yi+1-yi)

误差的初值P1，可将x1, y1，和b代入式(4)中的xi, yi而得到：

P1=2dy-dx

Bresenham算法的优点是：

不用浮点数，只用整数；

只做整数加减法和乘2运算，而乘2运算可以用硬件移位实现。

Bresenham算法速度很快，并适于用硬件实现。

【算法流程图】

【相关代码】

void PaintArea::drawLineBresenham(QPainter &painter, int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)

{

int x,y,dx,dy,e;

if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd)){

dx=xEnd-x0; dy=yEnd-y0; e=-dx;

x=x0; y=y0;

for(int i=0;i<=dx;i++)

{painter.drawPoint(x,y);

x=x+1; e=e+2*dy;

if(e>=0) {y=y+1; e=e-2*dx; }}

}

else if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd)){

dx=xEnd-x0; dy=yEnd-y0; e=-dx;

x=x0; y=y0;

for(int i=0;i<=dx;i++)

{ painter.drawPoint(x,y);

y=y+1; e=e+2*dx;

if(e>=0) {x=x+1; e=e-2*dy; }}

}

}

中点画线法

假定直线斜率k在0~1之间，当前象素点为(xp,yp)，则下一个象素点有两种可选择点(xp+1,yp)或P2(xp+1,yp+1)。若P1与P2的中点(xp+1,yp+0.5)称为M，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P2应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。

【算法流程图】

【相关代码】

void PaintArea::drawLineMiddle(QPainter &painter, int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)

{

int a,b,d,x,y;

if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd)){

a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;

painter.drawPoint(x,y);

while(x

{ if(d<0) {x++;y++;d+=2*(a+b); }

else{x++;d+=2*a; }

painter.drawPoint(x,y);

}

}

else if(fabs(x0-xEnd)>fabs(y0-yEnd) &&(x0-xEnd))<0)){

a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;

painter.drawPoint(x,y);

while(x>xEnd)

{ if(d<0) {x--;y--; d-=2*(a+b); }

else{x--;d-=2*a; }

painter.drawPoint(x,y);

}

}

else if(fabs(x0-xEnd)

a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;

painter.drawPoint(x,y);

while(y>yEnd)

{ if(d<0) {y++;x++;d+=2*(a+b); }

else{y++;d+=2*a; }

painter.drawPoint(x,y);

}

}

else if(fabs(x0-xEnd)0)){

a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;

painter.drawPoint(x,y);

while(x>xEnd)

{ if(d<0) {x--;y--; d-=2*(a+b); }

else{x--;d-=2*a; }

painter.drawPoint(x,y);

}

}

else if(fabs(x0-xEnd)0){

a=y0-yEnd; b=xEnd-x0; d=2*a+b; x=x0; y=y0;

painter.drawPoint(x,y);

while(y>yEnd)

{ if(d<0) {y++;x++;d+=2*(a+b); }

else{y++;d+=2*a; }

painter.drawPoint(x,y);

}

}

}

软件截图

这个绘图软件是用QT写的，我会另外写一篇介绍编程结构，敬请期待~

结果分析

此次实验自己真的倾注了很大的心血。

因为很喜欢计算机图形学，所以很想做个像模像样的东西出来，于是就下定决心借实验的机会做个简易的windows画板。也是第一次正式的使用QT开发，摸索的过程使得整个实验拖了很长时间。最终的结果还是比较令自己满意的，至少基本功能都实现了，界面也还看得过去。

过于注重表面，算法上功夫不足，有些“舍本逐末”

我是把整个软件做差不多了，才开始细细得来研究图元的基本算法(开始都是调用qt自带的绘制函数)。调试算法的过程才深刻感觉这比整个软件更花时间(可能因为整个软件并没有很复杂的架构)。由于时间有限，很多地方没有细细改进。尤其是对于k的几种情况，就生生的写了很冗余的代码，实在是丑啊。

以后再继续改进。

要改进的地方还有很多。比如算法结构重构，不要写那么冗余。然后再尝试一些填充算法自己实现，还有自己会试着做做简单的图像处理，变形拉伸什么的。

总之，坚持动手，学以致用。

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5楼a_xiaozhen1小时前好复杂啊！都有点看不懂！Re: xiaowei_cqu1小时前回复a_xiaozhen这是图形学的基础函数，不过一般都不用自己写的4楼hitalex7小时前原来是位技术女～赞！nPS：我是从豆瓣过来的...Re: xiaowei_cqu1小时前回复hitalex原来是位豆友~3楼tomsoft昨天 22:52不错，我一直在研究动态的矢量图形，有几点说明一下：n1)没有作抗锯齿，可以考虑SuperSample算法，使用BoxFilter就足够了，很简单的。n2)实际在真正实现中很多情况会使用ScanLine算法，而非直接这样绘制，如果您在看图形学算法，注意ScanLine算法；Re: xiaowei_cqu9小时前回复tomsoft您说的我没接触过，回头去看一看，谢前辈指点~2楼z1074971432昨天 20:09继续研究画圆，圆弧之类的n直线裁切，我是研究GUI实现时研究的Re: xiaowei_cqu昨天 21:21回复z1074971432嗯，会更新圆的画法1楼yong199105140昨天 15:41师姐，牛b的呢Re: xiaowei_cqu昨天 16:02回复yong199105140 : )