第四章光栅图形学

计算机图形学第四章光栅图形学的相关内容，包括：直线段的扫描转换算法、圆弧的扫描转换算法、多边形区域填充、字符的生成、裁剪、反走样等

Def 光栅显示器：一个像素矩阵（因此，要在光栅显示器上显示的图形逼近真实图形，需要用到下面的算法）

4.1 直线段的扫描转换算法

目标：需要在光栅显示器上画出过两点 P0(x0,y0)P_0(x_0,\,y_0)P0(x0,y0) 和 P1(x1,y1)P_1(x_1,\,y_1)P1(x1,y1) 的直线 LLL 的最佳逼近

直线的三个算法轮流考，中点画线法和Bresenham算法一定要写出递推的优化算法

数值微分法（DDA）

算法

① 当 k≤1k\le1k≤1 时，以 LLL 横坐标起点 x0x_0x0 向横坐标终点以步长为 1 个像素步进，每次计算当前纵坐标的理论值 yiy_iyi 并做四舍五入：令 y=kx+by=kx+by=kx+b ，则令 (xi,round(kxi+b))(x_i,\,round(kx_i+b))(xi,round(kxi+b)) 作为当前像素的坐标

② 但是这样每次都要计算 kxi+bkx_i+bkxi+b ，比较麻烦，可以使用增量计算：
yi+1=kxi+1+b=k(xi+1)+b=yi+ky_{i+1}=kx_{i+1}+b=k(x_i+1)+b=y_i+k yi+1=kxi+1+b=k(xi+1)+b=yi+k
因此，只需令纵坐标每次递增 kkk ，再做四舍五入

代码

void DDALine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) {int x;float dx, dy, y, k;dx = x1 - x0; dy = y1 - y0;k = dy / dx; y = y0;for (x = x0; x < x1; ++x) {drawPixel(x, int(y + 0.5), color);y += k;}
}

注意：当 k≥1k\ge1k≥1 时，以 LLL 纵坐标起点 y0y_0y0 向纵坐标终点 y1y_1y1 以步长为 1 个像素步进，每次计算当前横坐标的理论值 xix_ixi 并做四舍五入

注意：四舍五入后取整不利于硬件实现

例：用 DDA 方法扫描转换连接两点 P0(0,0)P_0(0,\,0)P0(0,0) 和 P1(5,2)P_1(5,\,2)P1(5,2) 的直线段

x	int(y+0.5)	y+0.5
0	0	0
1	0	0.4+0.5
2	1	0.8+0.5
3	1	1.2+0.5
4	2	1.6+0.5

中点划线法

算法

① 当 k≤1k\le1k≤1 时，设当前坐标为 (xi,yi)(x_i,\,y_i)(xi,yi) ，则下一个坐标可以是 (xi+1,yi)(x_i+1,\,y_i)(xi+1,yi) 或 (xi+1,yi+1)(x_i+1,y_i+1)(xi+1,yi+1) ，怎么选择呢？令下一点的实际位置为 QQQ 点，下一位置的两个选择的中点为 MMM ：

若 QQQ 在 MMM 上方，则选择 (xi+1,yi+1)(x_i+1,y_i+1)(xi+1,yi+1)
若 QQQ 在 MMM 下方，则选择 (xi+1,yi)(x_i+1,y_i)(xi+1,yi)

② 如何判别 QQQ 与 MMM 的位置关系？设过点 P0(x0,y0)P_0(x_0,\,y_0)P0(x0,y0) 和 P1(x1,y1)P_1(x_1,\,y_1)P1(x1,y1) 的直线 LLL 方程为：
F(x,y)=ax+by+c=0;(a=y0−y1;b=x1−x0;c=x0y1−x1y0)F(x,\,y)=ax+by+c=0;\quad (a=y_0-y_1;\,b=x_1-x_0;\,c=x_0y_1-x_1y_0) F(x,y)=ax+by+c=0;(a=y0−y1;b=x1−x0;c=x0y1−x1y0)
只需要将 MMM 带入 F(x,y)F(x,\,y)F(x,y) 即可得到 MMM 与直线的位置关系：
d=F(M)=F(xi+1,yi+0.5)=a(xi+1)+b(yi+0.5)+cd=F(M)=F(x_i+1,y_i+0.5)=a(x_i+1)+b(y_i+0.5)+c d=F(M)=F(xi+1,yi+0.5)=a(xi+1)+b(yi+0.5)+c

当 d<0d\lt 0d<0 ，MMM 在 QQQ 点（直线 LLL ）下方，取 (xi+1,yi+1)(x_i+1,\,y_i+1)(xi+1,yi+1) 为下一个像素点
当 d>0d\gt 0d>0 ，MMM 在 QQQ 点（直线 LLL ）上方，取 (xi+1,yi)(x_i+1,\,y_i)(xi+1,yi) 为下一个像素点
当 d=0d=0d=0 ，MMM 和 QQQ 点重合，约定取 (xi+1,yi)(x_i+1,\,y_i)(xi+1,yi) 为下一个像素点

③ 每次需要计算下一个 ddd，太麻烦了，同样也可以使用增量计算：

ddd 的初始值为：
F(x0+1,y0+0.5)=(ax0+by0+c)+a+0.5b=F(x0,y0)+a+0.5b=a+0.5bF(x_0+1,\,y_0+0.5)=(ax_0+by_0+c)+a+0.5b=F(x_0,\,y_0)+a+0.5b=a+0.5b F(x0+1,y0+0.5)=(ax0+by0+c)+a+0.5b=F(x0,y0)+a+0.5b=a+0.5b
若 di>0d_i\gt 0di>0 ，则 di+1=F(xi+2,yi+0.5)=di+ad_{i+1}=F(x_i+2,\,y_i+0.5)=d_i+adi+1=F(xi+2,yi+0.5)=di+a ，增量为 aaa
若 di<0d_i\lt 0di<0 ，则 di+1=F(xi+2,yi+1.5)=di+a+bd_{i+1}=F(x_i+2,\,y_i+1.5)=d_i+a+bdi+1=F(xi+2,yi+1.5)=di+a+b ，增量为 a+ba+ba+b

④ 由于 aaa、bbb 和 ccc 都是整数，而加 0.5b0.5b0.5b 又涉及浮点数运算了，所以可以使用 2d2d2d 来代替 ddd 加速

代码

void MidPointLine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) {int a, b, d1, d2, d, x, y;a = y0 - y1;    b = x1 - x0;d = 2 * a + b;   d1 = 2 * a;        d2 = 2 * (a + b);x = x0;         y = y0;while (x < x1) {if (d < 0) {++x; ++y; d += d2;} else {++x; d += d1;}drawPixel(x, y, color);}
}

注意：当 k≥1k\ge1k≥1 时，以 LLL 纵坐标起点 y0y_0y0 向纵坐标终点 y1y_1y1 以步长为 1 个像素步进，ddd 的初始值为 0.5a+b0.5a+b0.5a+b ，d1=bd_1=bd1=b ，d2=a+bd_2=a+bd2=a+b

例：用中点画线法扫描转换连接两点 P0(0,0)P_0(0,\,0)P0(0,0) 和 P1(5,2)P_1(5,\,2)P1(5,2) 的直线段

// initialization
a = y0 - y1 = -2; b = x1 - x0 = 5;
d0 = 2 * a + b = 1;
d1 = 2 * a = -4;  d2 = 2 * (a + b) = 6;

x	y	d
0	0	1
1	0	-3
2	1	3
3	1	-1
4	2	5

Bresenham 算法

算法

①（假设斜率 k≤0k\le0k≤0 ）过各行各列像素中心构造网格线；采用增量计算，计算直线与垂直网格线交点到下一水平网格线的距离 ddd （误差项），依据 ddd 的大小判断下一像素点的选取：

当 d>0.5d\gt 0.5d>0.5 时，选取 (xi+1,yi+1)(x_i+1,\,y_i+1)(xi+1,yi+1)
当 d≤0.5d\le 0.5d≤0.5 时，选取 (xi+1,yi)(x_i+1,\,y_i)(xi+1,yi)

误差项 ddd 的初值 d0=0d_0=0d0=0 ；当横坐标增加 1 时，误差项 ddd 的增量为 kkk ；当 ddd 大于 1 时，将其减一，保证 d∈[0,1]d\in[0,\,1]d∈[0,1] ：

② 为了方便计算，可令 e=d−0.5e=d-0.5e=d−0.5 ，e0=−0.5e_0=-0.5e0=−0.5 ，增量为 kkk ：

当 e>0e\gt 0e>0 时，选取 (xi+1,yi+1)(x_i+1,\,y_i+1)(xi+1,yi+1)
当 e≤0e\le 0e≤0 时，选取 (xi+1,yi)(x_i+1,\,y_i)(xi+1,yi)

（因为只用到误差项 eee 的符号，所以可以改用整数 2e2e2e 来避免除法）

代码

void BresenhamLine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) {int x, y, dx, dy;float k, e;dx = x1 - x0;    dy = y1 - y0;k = dy - dx; e = -0.5;x = x0;          y = y0;for (int i = 0; i < dx; ++i) {drawPixel(x, y, color);++x;   e += k;if (e > 0.5)    e -= 1;if (e >= 0)     ++y;}
}

例：用Bresenham画线法扫描转换连接两点 P0(0,0)P_0(0,\,0)P0(0,0) 和 P1(5,2)P_1(5,\,2)P1(5,2) 的直线段

x	y	e	d
0	0	-0.5	0
1	0	-0.1	0.4
2	1	0.3	0.8
3	1	-0.3	0.2
4	2	0.1	0.6

4.2 圆弧的扫描转换算法

目标：

需要在光栅显示器上画出以原点 O(0,0)O(0,\,0)O(0,0) 为圆心、以 RRR （RRR 为整数）为半径的圆
需要在光栅显示器上画出以原点 O(0,0)O(0,\,0)O(0,0) 为对称中心、以 aaa 、bbb 为椭圆参数的椭圆

圆

特征：圆具有八对称性，因此只要扫描转换八分之一的圆弧

#### 简单方程产生圆弧（DDA）

算法

利用函数方程直接离散计算：
x2+y2=R2xi+1=xi+1,x∈[0,R2]yi+1=round(R2−xi+12)x^2+y^2=R^2 \\ x_{i+1}=x_i+1,\quad x\in[0,\,\frac{R}{\sqrt{2}}] \\ y_{i+1}=round(\sqrt{R^2-x_{i+1}^2}) x2+y2=R2xi+1=xi+1,x∈[0,2R]yi+1=round(R2−xi+12)

中点画圆法

算法

原方程：F(x,y)=x2+y2−R2F(x,\,y)=x^2+y^2-R^2F(x,y)=x2+y2−R2

构造判别式：d=F(M)=F(xp+1,yp−0.5)=(xp+1)2+(yp+1)2−R2d=F(M)=F(x_p+1,\,y_p-0.5)=(x_p+1)^2+(y_p+1)^2-R^2d=F(M)=F(xp+1,yp−0.5)=(xp+1)2+(yp+1)2−R2 ：

初始值为 d0=F(1,R−0.5)=1.25−Rd_0=F(1,\,R-0.5)=1.25-Rd0=F(1,R−0.5)=1.25−R
若 d<0d\lt 0d<0 ，取 P1P_1P1 为下一像素点，再下一像素的判别式为：
d=F(xp+2,yp−0.5)=d+2xp+3d=F(x_p+2,\,y_p-0.5)=d+2x_p+3 d=F(xp+2,yp−0.5)=d+2xp+3
若 d≥0d\ge 0d≥0 ，取 P2P_2P2 为下一像素点，再下一像素的判别式为：
d=F(xp+2,yp−1.5)=d+2(xp−yp)+5d=F(x_p+2,\,y_p-1.5)=d+2(x_p-y_p)+5 d=F(xp+2,yp−1.5)=d+2(xp−yp)+5

代码

void MidPointCircle(int r, int color) {int x = 0, y = r;float d = 1.25 - r;circlePoint(x, y, color);while (x <= y) {if (d < 0) d += 2 * x + 3;else {d += 2 * (x - y) + 5;--y;}++x;circlePoints(x, y, color);}
}

Bresenham算法

考试不会考

原理和前面 Bresenham 算法画直线的原理差不多

椭圆

计算量比较大，考的概率较低

特征：椭圆只具有四对称性，并且四分之一椭圆弧上也要分成两段做，因为切线的斜率同时有大于1和小于1发部分，需要分开处理

中点画椭圆法

算法

以 a>ba\gt ba>b 的椭圆为例：

方程式：F(x,y)=b2x2+a2y2−a2b2=0F(x,\,y)=b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0F(x,y)=b2x2+a2y2−a2b2=0 （椭圆外的点，F(x,y)>0F(x,\,y)\gt0F(x,y)>0 ）

法向量：N(x,y)=2b2xi+2a2yjN(x,\,y)=2b^2xi+2a^2yjN(x,y)=2b2xi+2a2yj ，因此分界点为 (22a,22b)(\frac{\sqrt2}{2}a,\,\frac{\sqrt2}{2}b)(22a,22b)

上半部分

判别式 d1=F(xi+1,yi−0.5)=b2(xi+1)2+a2(yi−0.5)2−a2b2d_1=F(x_i+1,\,y_i-0.5)=b^2(x_i+1)^2+a^2(y_i-0.5)^2-a^2b^2d1=F(xi+1,yi−0.5)=b2(xi+1)2+a2(yi−0.5)2−a2b2 ：

判别式初始值为 d10=F(1,b−0.5)=b2+a2(−b+0.25)d_{10}=F(1,\,b-0.5)=b^2+a^2(-b+0.25)d10=F(1,b−0.5)=b2+a2(−b+0.25)
若 d1≤0d_1\le0d1≤0 ，取 PuP_uPu 为下一像素点，下一判别式的值为：

d1=F(xi+2,yi−0.5)=d1+b2(2xi+3)d_1=F(x_i+2,\,y_i-0.5)=d_1+b^2(2x_i+3) d1=F(xi+2,yi−0.5)=d1+b2(2xi+3)

若 d1>0d_1\gt0d1>0 ，取 PdP_dPd 为下一像素点，下一判别式的值为：

d1=F(xi+2,y1−1.5)=d1+b2(2xi+3)+a2(−2yi+2)d_1=F(x_i+2,\,y_1-1.5)=d_1+b^2(2x_i+3)+a^2(-2y_i+2) d1=F(xi+2,y1−1.5)=d1+b2(2xi+3)+a2(−2yi+2)

下半部分

判别式 d2=F(xi+0.5,yi−1)=b2(xi+0.5)2+a2(yi−1)2−a2b2d_2=F(x_i+0.5,\,y_i-1)=b^2(x_i+0.5)^2+a^2(y_i-1)^2-a^2b^2d2=F(xi+0.5,yi−1)=b2(xi+0.5)2+a2(yi−1)2−a2b2

判别式初始值按照上半部分的最后一个点确定
若 d2>0d_2\gt0d2>0 ，取 PlP_lPl 为下一像素点，下一判别式的值为：

d2=F(xi+0.5,yi−2)=d2+a2(−2yi+3)d_2=F(x_i+0.5,\,y_i-2)=d_2+a^2(-2y_i+3) d2=F(xi+0.5,yi−2)=d2+a2(−2yi+3)

若 d2<0d_2\lt0d2<0 ，取 PrP_rPr 为下一像素点，下一判别式的值为：

d2=F(xi+1.5,yi−2)=d2+b2(2xi+2)+a2(−2yi+3)d_2=F(x_i+1.5,\,y_i-2)=d_2+b^2(2x_i+2)+a^2(-2y_i+3) d2=F(xi+1.5,yi−2)=d2+b2(2xi+2)+a2(−2yi+3)

（仔细观察一下，上半部分和下半部分的判别式增量是对称的）

4.3 多边形区域填充

两种表示方法：顶点表示和点阵表示

扫描线算法

考过好几次。给图形，写出活性边表的迭代过程，还要写出扫描线的四个转换步骤。可能也要写伪代码，或解释活性边表项的内容

步骤：

求交：计算扫描线与多边形各边的交点
排序：把所有交点按照横坐标递增顺序排序
配对：排序后的交点序列中相邻的两个进行配对
着色：把相交区间内的像素置成多边形颜色，区间外的像素填充为背景色

算法：

活性边： 多边形中与当前扫描线相交的边

（图中每个点代表每个像素）

活性边表（AET）： 链表，结点代表多边形的某条边与当前扫描线的脚店情况，按照横坐标递增存放，保存的信息有：

xxx ：当前扫描线与边的交点
Δx\Delta xΔx ：从当前扫描线到下一条扫描线之间的交点的 xxx 增量
ymaxy_{max}ymax ：该边所交的最高扫描线号（扫描线号就是纵坐标）

（活性边表只有一个，但是会随着遍历扫描线的过程而动态变化，表里每一项代表多边形的一条边）

（活性边表代表当前被遍历到的扫描线与多边形各边的交点情况）

如扫描线 666 和 777 的活性边表（AET）：

新边表（NET）： 每一条扫描线都建立一个新边表，用于存放第一次出现交点是与当前扫描线相交的多边形的边（若某边的较低端点为 yminy_{min}ymin ，则该边存放在扫描线 yminy_{min}ymin 的新边表中）

交点取舍： 扫描线与多边形的顶点相交时，需要做取舍

方法：检查顶点的两条边的另外两个端点 yyy 值，按这两个 yyy 值中大于交点 yyy 值的个数是 0、1、2 来决定取零个、一个还是两个交点

共享顶点的两条边落在扫描线两侧，则只取一个交点，如 P1P_1P1
共享顶点的两条边落在扫描线同一侧：
- 若交点是局部最高点，即 yi>yi−1y_i\gt y_{i-1}yi>yi−1 且 yi>yi+1y_i\gt y_{i+1}yi>yi+1 ，则取零个交点，如 P6P_6P6
- 若交点是局部最高点，即 yi<yi−1y_i\lt y_{i-1}yi<yi−1 且 yi<yi+1y_i\lt y_{i+1}yi<yi+1 ，则取两个交点，如 P2P_2P2

增量法： 下一扫描线与多边形某条边的交点横坐标不需要重新计算，只需要 xi+Δxx_i+\Delta xxi+Δx

若该边的方程为 ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0 ，则Δx=−ba\Delta x=-\frac{b}{a}Δx=−ab

算法步骤：

void polyfill(多边形 polygon, int color) {for (i : 扫描线) {初始化新边表头指针NET[i];将 ymin = i 的边放入新边表 NET[i];}创建空的AET表;for (i : 扫描线) {插入排序法: 将NET[i]中的所有边结点插入AET;    //保证按横坐标递增顺序排列// 此时AET表中除了新边，还有ymax > i 的边结点遍历AET表，删除 ymax = i的结点;for((x, y) : 左闭右开的配对交点区间) {drawpixel(x, y, color);将ymax > i的结点的x值递增dx;}}
}

举例： 沿用上面的多边形，活性边表 AET 的迭代过程：（加粗代表新增加的边）

i = 0	AET = null
i = 1	AET = P1P2 -> P2P3
i = 2	AET = P6P1 -> P1P2 -> P2P3; del: P1P2; left: P6P1 -> P2P3
i = 3	AET = P6P1 -> P2P3 -> P3P4; del: P2P3; left: P6P1 -> P3P4
i = 4	AET = P6P1 -> P3P4
i = 5	AET = P6P1 -> P5P6 -> P4P5 -> P3P4
i = 6	AET = P6P1 -> P5P6 -> P4P5 -> P3P4
i = 7	AET = P6P1 -> P5P6 -> P4P5 -> P3P4 del: P6P1, P5P6 left: P4P5 -> P3P4
i = 8	AET = P4P5 -> P3P4 del: P4P5, P3P4 left: null

边界标志算法

在帧缓冲器中对边界经过的像素打上标志，然后对每行循环每个像素填充颜色

简单暴力，计算量大，适合硬件实现、对多边形形状没有要求

（记录一个 flag 用于指示是否在多边形内部，每次遇到多边形的边界就反转 flag）

种子填充算法

有点像是 BFS，从区域内某一点（种子点）出发，通过四个（4向连通区域）或八个（8向连通区域）的移动组合来到达区域内的任意像素

因此要求填充区域是联通的，且初始状态下填充区域内部颜色统一，填充区域边界颜色统一

原理简单，但递归费时费内存，效率不高

种子填充的扫描线算法

从种子点向左右填充直到边界，再从两端向上下找未填充像素作为种子压栈，重复上述过程

每个区间只需入栈一次

4.4 字符的生成

字符编码

美国信息交换标准代码集ASCII码
汉字编码国家标准字符集GB2312-80
- 字符最高位 0表示ASCII码，1表示汉字编码

字符表达和生成

点阵式字符

硬件操作快，可以加粗、旋转90度、斜体、比例缩放等，任意角度旋转比较困难

加粗：每个像素 (xi,y)(x_i,\,y)(xi,y) 右边相邻的像素 (xi+1,y)(x_{i+1},\,y)(xi+1,y) 也被写入
旋转90°：每个像素先交换 xxx 和 yyy 坐标，再改变 yyy 的符号（先沿对角线翻转，在上下翻转）
斜体：逐行拷贝像素，每隔 nnn 行左移一单元

压缩技术

黑白段压缩法：简单，还原快，不失真，压缩较差，使用不方便，用于低级文字处理系统
部件压缩法：压缩比大，字型质量不能保证
轮廓字型法：压缩比大，能保证质量，符合工业标准化方法
- 采用直线或二/三次贝塞尔曲线的集合来描述一个字符的轮廓线，加上指示横宽、竖宽、基点、基线等的控制信息（即构成压缩数据），采用适当的区域填充算法；
- TrueType轮廓字型技术由Apple和Microsoft联合开发；
- 占领主要电子印刷市场的是北大方正激光照排系统；

矢量式字符

用点坐标的序列表示各个笔划，调用矢量式字符的过程相当于输出一个 polyline
存储空间小、美观、变换方便

方向编码式字符

用若干种方向编码(如8方向编码)来表达一个字符，偶数方向固定长度为 1 ，奇数方向固定长度为 2\sqrt22
- 字母“B”的方向矢量构成：{0000 123 444 000 123 4444 0 666666}
容易填入帧缓存寄存器显示，所占空间小，易放大缩小或45度旋转，但难以进行任意角度的旋转

4.5 裁剪

三个算法不会同时考

一般是先裁剪再扫描转换

直线段裁剪

Cohen-Sutherland裁剪算法

考了无数次 [\doge]

延长窗口四条边，将平面分为九宫格；每个格用四位编码 CtCbCrClC_tC_bC_rC_lCtCbCrCl ：

C_t = y > y_max ? 1 : 0; // top
C_b = y > y_max ? 0 : 1;    // bottom
C_r = x > x_max ? 1 : 0;    // right
C_l = x > x_max ? 0 : 1;    // left

裁剪一条线段 P1P2P_1P_2P1P2 时，先求出所在区号 code1code_1code1 、code2code_2code2 ：

若 code1=0code_1=0code1=0 且 code2=0code_2=0code2=0 ，则说明线段 P1P2P_1P_2P1P2 完全在窗口内，不需要裁剪，直接保留
若 code1&code2≠0code_1\,\&\,code_2\not=0code1&code2=0 ，则说明线段 P1P2P_1P_2P1P2 完全在窗口外，不需要裁剪，直接舍弃
否则，求出线段与窗口某边的交点，在交点处把线段一分为二，其中必有一段完全在窗口外，舍弃；再对另一段重复上述处理

注意：第三种情况求交点时，可以取任意一个编码不为 0 的端点，然后按顺序遍历编码的每一位，取编码不为 0 的那一位对应的窗口边界，求边与此窗口边界的交点

中点分割方法（求交点的算法）

Cohen-Sutherland 裁剪算法在的第三种情况需要求出 P0P1P_0P_1P0P1 与窗口的一个交点，可以用中点分割算法进行求交点的优化：

首先求出 P0P1P_0P_1P0P1 的中点 PmP_mPm 及其编码
- 若 P0PmP_0P_mP0Pm 不是显然不可见的：（此时已知 P0P1P_0P_1P0P1 在窗口中有可见部分）则 P0PmP_0P_mP0Pm 中必与窗口有一个交点，所以用 P0PmP_0P_mP0Pm 代替 P0P1P_0P_1P0P1
- 若 P0PmP_0P_mP0Pm 是显然不可见的：则用 PmP1P_mP_1PmP1 代替 P0P1P_0P_1P0P1
重复上述过程，直到 P0P1P_0P_1P0P1 的长度小于给定的常数为止，此时 PmP_mPm 收敛于交点

（Cohen-Sutherland 裁剪算法在的第三种情况需要求出 P0P1P_0P_1P0P1 与窗口的一个交点，而且只需要求出一个交点就够了）

注意：由于该算法的主要计算过程只用到加法和除 2 运算，所以特别适合硬件实现和并行计算

梁友栋－Barskey算法

设线段 P0P1P_0P_1P0P1 端点坐标分别为 (X1,Y1)(X_1,\,Y_1)(X1,Y1) 和 (X2,Y2)(X_2,\,Y_2)(X2,Y2) ；以 (X1,Y1)(X_1,\,Y_1)(X1,Y1) 为起点，参数 0≤μ≤10\le\mu\le10≤μ≤1 ，ΔX=X2−X1\Delta X=X_2-X_1ΔX=X2−X1 ，ΔY=Y1−Y2\Delta Y=Y_1-Y_2ΔY=Y1−Y2 ，则裁剪的保留条件为：
XL≤X1+μΔX≤XRYB≤Y1+μΔY≤YTX_L\le X_1+\mu\Delta X\le X_R \\ Y_B\le Y_1+\mu\Delta Y\le Y_T \\ XL≤X1+μΔX≤XRYB≤Y1+μΔY≤YT
可以表示为：μpk≤qk\mu p_k\le q_kμpk≤qk ，pkp_kpk 和 qkq_kqk 定义为：
p1=−ΔXq1=X1−XLp2=ΔXq2=XR−X1p3=−ΔYq3=Y1−YBp4=ΔYq4=YT−Y1p_1=-\Delta X\quad q_1=X_1-X_L\quad\quad p_2=\Delta X\quad q_2=X_R-X_1\\ p_3=-\Delta Y\quad q_3=Y_1-Y_B\quad\quad p_4=\Delta Y\quad q_4=Y_T-Y_1\\ p1=−ΔXq1=X1−XLp2=ΔXq2=XR−X1p3=−ΔYq3=Y1−YBp4=ΔYq4=YT−Y1
位置关系：

若 pk=0p_k=0pk=0 ，则平行于裁剪边界之一：
- 若同时有 qk<0q_k\lt 0qk<0 ，则线段完全在边界外，舍弃该线段
- 若此时 qk≥0q_k \ge 0qk≥0 ，则线段平行于裁剪边界且在窗口内
若 pk≠0p_k\not=0pk=0 ，则可以计算出线段与边界 kkk 的延长线的交点的 uuu 值：u=qkpku=\frac{q_k}{p_k}u=pkqk
- 若 pk<0p_k\lt 0pk<0 ，线段从裁剪边界及延长线的外部延伸到内部，对于不同的边界，有正负不同的 ΔX\Delta XΔX 和 ΔY\Delta YΔY
- 若 pk>0p_k\gt 0pk>0 ，线段从裁剪边界及延长线的内部延伸到外部，对于不同的边界，有正负不同的 ΔX\Delta XΔX 和 ΔY\Delta YΔY

**参数计算：**对于每条直线，计算参数 u1u_1u1 和 u2u_2u2 ，它们定义了裁剪矩形的线段部分：

u1u_1u1 代表线段相对于矩形边界从外到内（ pk<0p_k\lt 0pk<0 ），u1=max(0,u_1=max(0,u1=max(0, 其他从外到内的 u)u)u)
u2u_2u2 代表线段相对于矩形边界从内到外（ pk>0p_k\gt 0pk>0 ），u2=min(1,u_2=min(1,u2=min(1, 其他从内到外的 u)u)u)

交点判断：

若 u1>u2u_1 \gt u_2u1>u2 ，则线段完全落在裁剪窗口之外，舍弃；
否则，裁剪线段可以由参数 u1u_1u1 和 u2u_2u2 计算出来：

(X1+u1ΔX,Y1+u1ΔY)→(X1+u2ΔX,Y1+u2ΔY)(X_1+u_1\Delta X,\,Y_1+u_1\Delta Y)\to(X_1+u_2\Delta X,\,Y_1+u_2\Delta Y) (X1+u1ΔX,Y1+u1ΔY)→(X1+u2ΔX,Y1+u2ΔY)

（实际算法就是对裁剪矩形上下左右边界都进行判断，只要有一个出现舍弃就舍弃；否则算出参数 u1u_1u1 和 u2u_2u2 ，进而算出裁剪线段）

注意： 使用参数化的算法，计算更快

多边形裁剪

Sutherland-Hodgeman算法

考虑窗口的每一条边与线段的关系，设线段 SPSPSP 为有向线段，S→PS\to PS→P ：

若 SSS 、PPP 均可见，则输出终点 PPP
若 SSS 、PPP 均不可见，则不输出
若 SSS 可见，PPP 不可见，则输出 SPSPSP 与裁剪线的交点 III
若 SSS 不可见，PPP 可见，则输出 SPSPSP 与裁剪线的交点 III 与终点 PPP

记忆：输出 = 交点（如果存在）+ 终点（如果可见）

（即若存在交点，则需输出交点；若终点可见，则需输出终点）

遍历窗口四条裁剪线；对于某一条裁剪线，遍历多边形每一条边，将输出的顶点按顺序连接：

字符串裁剪

经常考简答题，画出四种裁剪精度下裁剪结果的示意图


待裁剪字符串	串精度裁剪	字符精度裁剪	像素精度裁剪

字符串精度裁剪

求出字符串外包盒（box），与窗口裁剪边进行比较：当字符串外包盒完全再窗口内时显示，否则不显示；

字符精度裁剪

先以字符串 box 判断字符串是全删、全留或部分留
对于部分留的字符串，逐个测量字符的 box 与窗口裁剪边关系而决定字符保留或删除

像素精度裁剪

先以字符串 box 判断字符串是全删、全留或部分留
对于部分留的字符串，逐个测量字符的 box 与窗口裁剪边关系而决定字符全删、全留或部分留
对部分留的字符的每一笔划，用直线裁剪法对窗边裁剪

4.6 反走样

Def 走样：使用离散的光栅显示器显示连续的图形信号，引起失真现象（包括：阶梯状的边界、图形细节失真、狭小图形遗失）

区域采样可能考简答题

提高分辨率

依靠硬件设施，存储器代价和扫描转换时间增加，只能减轻而不能消除锯齿问题

区域采样

根据直线段与像素相交区域面积大小确定该像素的亮度值

将一个像素的面积看作1，则亮度 === 最大亮度 ×\times× 相交面积

面积可以采用离散估计的方法，即将像素均分为 nnn 个子像素，计算中心点落在直线段内的子像素个数 kkk ，则相交区域面积近似值为 kn\frac{k}{n}nk

加权区域采样

相交区域对像素亮度的贡献依赖于该区域与像素中心的距离

同样可以使用离散的计算方法，即将像素均分为 nnn 个子像素，选定一个加权表，则该像素亮度 === 最大亮度 ×∑i=1npiwi\times\,\sum\limits_{i=1}^n p_iw_i×i=1∑npiwi ，其中 wiw_iwi 为子像素权重，当子像素中心落在直线段内时，pi=1p_i=1pi=1 ，否则为 000；

例：将屏幕划分为 n=3×3n=3\times3n=3×3 个子象素，加权表可以取作：
[w1w2w3w4w5w6w7w8w9]=116[121242121]\left[ \begin{matrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ w_4 & w_5 & w_6 \\ w_7 & w_8 & w_9 \\ \end{matrix} \right] =\frac{1}{16} \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right] ⎣⎡w1w4w7w2w5w8w3w6w9⎦⎤=161⎣⎡121242121⎦⎤
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