三角形周长最短问题_一次函数动点问题：求三角形周长最小值

例题

如图，已知点C(-1,0)，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OB上的动点，求△CDE周长的最小值。

解题过程：

取点C关于直线AB的对称点F，点C关于y轴的对称点G，连接AF、DF、EG

根据轴对称的性质和题目中的条件：点C、F关于直线AB对称，点C、G关于y轴对称，则AF=AC，DF=DC，EC=EG，CO=GO;

根据结论：DF=DC，EC=EG，△CDE周长=DC+EC+DE，则△CDE周长=DF+EG+DE;

所以，当F、D、E、G四点在一条直线上时，△CDE周长取到最小值FG;

根据题目中的条件：直线y=x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，则当x=0时，y=4，当y=0时，x=-4，即点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(0,4);

根据题目中的条件和结论：A(-4,0)，B(0,4)，C(-1,0)，则AO=4，BO=4，CO=1;

根据轴对称性质：点C、F关于直线AB对称，点C、G关于y轴对称，则CF⊥AB，∠OAF=2∠OAB，CG⊥y轴;

根据结论：AO=4，BO=4，∠AOB=90°，则∠OAB=45°;

根据结论：∠OAF=2∠OAB，∠OAB=45°，则∠OAF=90°;

根据结论：AO=4，CO=1，则AC=AO-CO=3;

根据结论：AF=AC，AC=3，则AF=3;

根据结论：∠OAF=90°，AF=3，AO=4，则点F的坐标为(-4,3);

根据结论：CG⊥y轴，x轴⊥y轴，则点G在x轴上;

根据结论：CO=GO，CO=1，点G在x轴上，则GO=1，点G的坐标为(1,0);

根据结论：AO=4，GO=1，则AG=AO+GO=5;

根据勾股定理和结论：∠OAF=90°，AG=5，AF=3，FG^2=AG^2+AF^2，则FG=√34;

结语

解决本题的关键是利用轴对称性质得到线段和角度间的等量关系，同时构造出直角三角形，根据坐标与线段长度间的关系，得到直角三角形的边长，再利用勾股定理就可以求得题目需要的值。

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