初中数学几何题汇编 三角形

知识考点：

理解三角形三边的关系及三角形的主要线段(中线、高线、角平分线)和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。

精典例题：

【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是、，且，那么这个三角形的周长的取值范围是(    )

A、                      B、

C、              D、

分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：B

变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是(    )

A、1＜AB＜29      B、4＜AB＜24      C、5＜AB＜19      D、9＜AB＜19

评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝45⁰，∠ACB＝61⁰，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。

略解：∵AB＝DB，AC＝CE

∴∠D＝∠ABC，∠E＝∠ACB

∴∠D＋∠E＝(∠ABC＋∠ACB)＝53⁰

∴∠DAE＝180⁰－(∠D＋∠E)＝127⁰

探索与创新：

【问题一】如图，已知点A在直线外，点B、C在直线上。

(1)点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A；

(2)试判断在△ABC外，又和点A在直线的同侧，是否存在一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论。

分析与结论：

(1)连结AP，易证明∠P＞∠A；

(2)存在，怎样的角与∠A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所对且顶点在弧AB，和弧AC上的圆周角都与∠A相等，因此点Q应在弓形AB和AC内，利用圆的有关性质易证明(证明略)。

【问题二】如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？

分析与结论：

(1)DE是△AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD＋AE＝BE＋BC＋CD

(2)既有等边三角形的条件，就有60⁰的角可以利用；又有垂线，可造成含30⁰角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。

略解：在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60⁰

又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D

∴∠BPE＝∠CPD＝30⁰

不妨设等边△ABC的边长为1，BE＝，CD＝，那么：BP＝，PC＝，，而AE＝，AD＝

∴AE＋AD＝

又∵BE＋CD＋BC＝

∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD

从而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE

即△AED的周长等于四边形EBCD的周长。

评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。

跟踪训练：

一、填空题：

1、三角形的三边为1，，9，则的取值范围是          。

2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为    。

3、在△ABC中，若∠C＝2(∠A＋∠B)，则∠C＝        度。

4、如果△ABC的一个外角等于150⁰，且∠B＝∠C，则∠A＝        。

5、如果△ABC中，∠ACB＝90⁰，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是          。

6、如图，在△ABC中，∠A＝80⁰，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝          。

7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝        。

8、纸片△ABC中，∠A＝65⁰，∠B＝75⁰，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内(如图)，若∠1＝20⁰，则∠2的度数为          。

9、在△ABC中，∠A＝50⁰，高BE、CF交于点O，则∠BOC＝        。

10、若△ABC的三边分别为、、，要使整式，则整数应为          。

二、选择题：

1、若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有(    )

A、6个            B、7个              C、8个            D、9个

2、在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为(   )

A、30⁰             B、36⁰                C、45⁰             D、72⁰

3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为(    )

A、7                B、11                C、7或11          D、不能确定

4、在△ABC中，∠B＝50⁰，AB＞AC，则∠A的取值范围是(    )

A、0⁰＜∠A＜180⁰                        B、0⁰＜∠A＜80⁰

C、50⁰＜∠A＜130⁰                       D、80⁰＜∠A＜130⁰

5、若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是(    )

A、可能没有锐角                       B、可能有一个锐角

C、可能有两个锐角                      D、最多一个锐角

6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是(    )

A、锐角三角形      B、直角三角形      C、钝角三角形       D、正三角形

三、解答题：

1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？

2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？

3、如图，在△ABC中，∠A＝96⁰，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于，∠BC与∠CD的平分线相交于，依此类推，∠BC与∠CD的平分线相交于，则∠的大小是多少？

4、如图，已知OA＝，P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝60⁰，填空：

(1)当OP＝        时，△AOP为等边三角形；

(2)当OP＝        时，△AOP为直角三角形；

(3)当OP满足        时，△AOP为锐角三角形；

(4)当OP满足        时，△AOP为钝角三角形。

一、填空题：

1、；2、2；3、120⁰；4、30⁰或120⁰；5、∠DCB；6、50⁰；7、8cm；

8、60⁰；9、130⁰；10、偶数。

二、选择题：CBCBCB

三、解答题：

1、6种(4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12)

2、可以，设延伸部分为，则长为，，的三条线段中，最长，

∵

∴只要，长为，，的三条线段可以组成三角形

设长为的线段所对的角为，则为△ABC的最大角

又由

当，即时，△ABC为直角三角形。

3、3⁰

4、(1)；(2)或；(3)＜OP＜；(4)0＜OP＜或OP＞

2.全等三角形

知识考点：

掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。

精典例题：

【例1】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。求证：CE＝CD。

分析：作AF⊥CD的延长线(证明略)

评注：寻求全等的条件，在证明两条线段(或两个角)相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。

【例2】如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。

分析：采用截长补短法，延长AC至  E，使AE＝AB，连结DE；也可在AB上截取AE＝AC，再证明EB＝CD(证明略)。

探索与创新：

【问题一】阅读下题：如图，P是△ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EB＝EC，∠1＝∠2，求证：AP⊥BC。

证明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2

∴△ABE≌△ACE(第一步)

∴AB＝AC，∠3＝∠4(第二步)

∴AP⊥BC(等腰三角形三线合一)

上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。

略解：不正确，错在第一步。

正确证法为：

∵BE＝CE

∴∠EBC＝∠ECB

又∵∠1＝∠2

∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC

∴△ABE≌△ACE(SAS)

∴∠3＝∠4

又∵AB＝AC

∴AP⊥BC

评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。

【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？

请同学们参照下面的方案(1)导出方案(2)(3)(4)。

解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案(1)：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案(2)：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案(3)：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。

评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案(4)：若此角为钝角，则这两个三角形全等。(5)：若这两个三角形都是锐解(钝角)三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60⁰，∠FGE－∠E＝56⁰，则∠A＝        度。

2、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90⁰，AB＝DC，那么图中有全等三角形      对。

3、如图，在△ABC中，∠C＝90⁰，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是        。

4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：             ，使△AEH≌△CEB。

5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段             (不包括AB＝CD和AD＝BC)。

6、如图，∠E＝∠F＝90⁰，∠B＝∠C，AE＝AF。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是          (填序号)。

二、选择题：

1、如图，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，则下列结论中正确的是(    )

A、△ADF≌△AEG                       B、△ABE≌△ACD

C、△BMF≌△CNG                    D、△ADC≌△ABE

2、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60⁰，∠B＝25⁰，则∠EOB的度数为(    )

A、60⁰             B、70⁰                  C、75⁰            D、85⁰

3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角(    )

A、相等            B、不相等         C、互余            D、互补或相等

4、如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，则与的大小关系是(    )

A、＞                        B、＜

C、＝                        D、无法确定

三、解答题：

1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求证：△ABE和△BDC是等腰三角形。

2、如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点。

(1)求证：AF⊥CD；

(2)在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写出两个。

3、(1)已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝100⁰，求证：△ABC≌△DEF；

(2)上问中，若将条件改为AB＝DE，，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝70⁰，结论是否还成立，为什么？

4、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。问：

(1)△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。

(2)△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。

5、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD。

(1)根据所给条件，指出△ACE和△BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。

(2)若△ACE和△BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。

参考答案

一、填空题：

1、32；2、3；3、15；4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；

5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；6、①②③

二、选择题：BBDA

三、解答题：

1、略；

2、(1)略；(2)AF⊥BE，AF平分BE等；

3、(1)略；(2)不成立，举一反例即能说明；

4、(1)不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。(2)面积相等，因为OP为∠MON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD(即底边也相等)从而△ABP与△PCD的面积相等。

5、(1)△ACE和△BDF的对应角相等；(2)略