文章目录

【XJTUSE计算机图形学】第三章几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面
- B样条曲线与曲面
- - B样条的递推定义与性质
  - - 基本概念
    - 定义
    - de Boor-Cox递推定义
    - 特殊观察
    - 性质
    - B样条曲线类型的划分
  - B样条曲线的性质
  - - 局部性
    - 开曲线定义域
    - 凸包性
    - 贝塞尔曲线是B样条曲线的特例
    - 分段参数多项式
    - 连续性
    - 导数公式
    - 变差缩减性
    - 仿射不变性
    - 几何不变性
    - 直线保持性
    - 习题
  - De Door算法（了解）
  - 三次B样条的Bezier表示（了解）
  - 节点插入算法
  - B样条曲线的优点
  - B样条曲面

【XJTUSE计算机图形学】第三章几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面

B样条曲线与曲面

Bezier曲线缺陷：

缺乏灵活性：一旦确定了多边形的顶点数，就确定了曲线的阶数；

控制性差：当顶点数较多，曲线的阶次将比较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；

不易修改：由曲线的方程可看出，其Bernstein基函数的值在开区间(0,1)内不为零。因此，所定义之曲线(0<t<1)在区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为不可能。

B样条曲线：为克服Bezier曲线的缺陷，Gordon等人拓展了Bezier曲线，从外形设计的需求出发，希望新曲线易于进行局部修改、更逼近特征多边形、低阶次曲线

于是，用k阶B样条基函数替换了Bernstein基函数，构成了称之为B样条曲线的新型曲线。

B样条的递推定义与性质

基本概念

半开区间[ti,ti+1][t_i,t_{i+1}][ti,ti+1] 是第i+1个节点区间；

集合T称为节点矢量；

重节点：如果一个节点ti出现r次 (即ti=ti+1=...=tt+r−1,r>1t_i=t_{i+1}=...=t_{t+r-1},r>1ti=ti+1=...=tt+r−1,r>1),ti 是重复度为r的多重节点

定义

Pi(i=0,1,...,n)P_i(i=0,1,...,n)Pi(i=0,1,...,n)是控制多边形的顶点

Ni,k(t)(i=0,1,...,n)N_{i,k}(t)(i=0,1,...,n)Ni,k(t)(i=0,1,...,n)称为k阶(k-1次)B样条基函数

多种基函数的定义：

de Boor-Cox递推定义

第i个k阶（基函数度数）B-样条基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)

约定00=0\frac{0}{0}=000=0

通常称为de Boor-Cox递归公式；

如果次数为零(k= 1)，这些基函数都是阶梯函数。

特殊观察

1️⃣ 基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上非零；

2️⃣ 在任何一个节点区间[ti,ti+1)[t_i,t_{i+ 1})[ti,ti+1), 最多有k个(k-1)次基函数非零：Ni−k+1,k(t),Ni−k+2,k(t),...,Ni,k(t)N_{i-k+1,k}(t),N_{i-k+2,k}(t),...,N_{i,k}(t)Ni−k+1,k(t),Ni−k+2,k(t),...,Ni,k(t)

性质

Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是t的k阶多项式

1️⃣ 局部支撑性：Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上的非零多项式

2️⃣ 权性(单位分解 )

3️⃣ 微分公式

4️⃣ 非负性：对所有的i,k和t, Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是非负的

5️⃣ 重要结论

基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是(k-1)次多项式的复合曲线，连接点在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上的节点处；

在重复度r的节点处，基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)是Ck−r−1C^{k-r-1}Ck−r−1连续的；

如果节点数目是(m+1),函数的阶数是k,控制点的个数是(n+1)，则m=(n+k)，即节点数等于控制点数+阶数

❓ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

注意阶数=次数+1

B样条曲线类型的划分

两个标准：首末节点是否重合和节点的分布情况。

1️⃣ 首末节点是否重合

开曲线：曲线不会与控制折线的第一边和最后一边接触；图1

闭曲线：第1个节点和最后1个节点是重复节点。

–Clamped：第一个节点和最后一个节点必须是重复度为k ；图2

–Closed：重复某些节点和控制点。图3

2️⃣ 节点的分布情况

假定控制多边形的顶点为Pi(i=0,1,...n)P_i(i=0,1,...n)Pi(i=0,1,...n)，阶数为k（次数为k-1），则节点矢量为T=[t0,t1,...,tn+k]T=[t_0,t_1,...,t_{n+k}]T=[t0,t1,...,tn+k]

均匀样条曲线

节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基

节点矢量为[0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 1]

准均匀样条曲线

两端点的重复度为k,内部其它节点呈均匀分布，且重复度为1。

端点过特征多边形的端点

节点矢量为[0, 0, 0, 0，1/3，2/3， 1，1, 1, 1]

分段Bezier曲线

节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。

图中有7个控制顶点，n=6，阶数为4，因此节点数为6+4+1=11，节点矢量为T=[t0,t1,...,t10]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]T=[t_0,t_1,...,t_{10}]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]T=[t0,t1,...,t10]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]

一般的非均匀B样条曲线

B样条曲线的性质

局部性

1️⃣ k阶B样条曲线上参数为t∈[ti,ti+1]t\in [t_i,t_{i+1}]t∈[ti,ti+1]的一点至多与k个控制顶点Pj(j=i−k+1,...i)P_j(j=i-k+1,...i)Pj(j=i−k+1,...i)有关，与其它控制顶点无关；

2️⃣ PiP_iPi只影响在区间[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上的曲线P(t)；

基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)在[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上非零；

3️⃣ 基函数Ni,k(t)N_{i,k}(t)Ni,k(t)在区间[ti,ti+k)[t_i,t_{i+k})[ti,ti+k)上都是次数不高于(k-1)的多项式。

❓ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?

P5影响在区间[t5,t9)∈[t3,t10][t5,t9)\in[t3,t10][t5,t9)∈[t3,t10]上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

注意看定义域,可能有陷阱

开曲线定义域

有k个基函数的支持，定义域是[tk−1,tn+1][t_{k-1},t_{n+1}][tk−1,tn+1](k-1是次数，n+1是控制顶点数)

举例

使用节点向量T={0,0.25,0.5,0.75,1},如果基函数是2阶的(即k=2),那么有三个基函数N0,2(t),N1,2(t)和N2,2(t)；

第一个和最后一个节点区间只有一个非零基函数，而第二和第三节点区间(即[0.25,0.5)和[0.5,0.75))有两个非零基函数。

节点区间[0,0.25)和[0.75,1)没有基函数的“完全支持”。

一般来说，区间[t0,tk−1)[t_0,t_{k-1})[t0,tk−1)和[tn+1,un+k][t_{n+1},u_{n+k}][tn+1,un+k]不会有基函数的“完全支持”，当B样条曲线是开曲线时被忽略。

凸包性

贝塞尔曲线是B样条曲线的特例

分段参数多项式

P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式，因此P(t)是参数t的次数不高于k-1的分段多项式。

连续性

导数公式

变差缩减性

仿射不变性

即在仿射变换下，P(t)的表达式具有形式不变性。

如果一个仿射变换应用于B样条曲线，得到的结果可以从它的控制点的仿射像构建得到。

几何不变性

由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。

直线保持性

控制多边形退化为一条直线时曲线也退化为一条直线

习题

1️⃣ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

2️⃣ 一条以P0,P1,P2,P3,P4为控制顶点的4阶(三次)B样条曲线，其节点向量为{0,0,0,1,2,3,4,4, 4},则其定义域为?

3️⃣ 由五个控制顶点所决定的3次B样条曲线，由几段3次B样条曲线段光滑连接而成？

定义域是[t3,t5][t3,t5][t3,t5]，有两段连接

4️⃣ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5，有几段曲线的形状会改变?

P5影响在区间[t5,t9)∈[t3,t10][t5,t9)\in[t3,t10][t5,t9)∈[t3,t10]上的曲线，影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

De Door算法（了解）

de Boor 算法的递推关系如图

三次B样条的Bezier表示（了解）

节点插入算法

进一步改善B样条曲线的局部性质，提高曲线的形状控制的灵活性，可实现对曲线的分割等

给定一条k阶B样条曲线$P(t)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}P_i N_{i,k}(t) ，B样条基由节点矢量，B样条基由节点矢量，B样条基由节点矢量T={[t_0,t_1,…,t_{n+k}]}$完全决定

插入一个节点

在定义域某个节点区间[ti,ti+1][t_i,t_{i+1}][ti,ti+1]内插入一个节点t，得到新的节点矢量：T1=[t0,t1,...,ti,t,ti+1,...,tn+k]T^1={[t_0,t_1,...,t_i,t,t_{i+1},...,t_{n+k}]}T1=[t0,t1,...,ti,t,ti+1,...,tn+k]

重新编号成为：T1=[t01,t11,...,ti1,ti+11,ti+21,...,tn+k+11]T^1={[t_0^1,t_1^1,...,t_i^1,t_{i+1}^1,t_{i+2}^1,...,t_{n+k+1}^1]}T1=[t01,t11,...,ti1,ti+11,ti+21,...,tn+k+11]

新节点矢量T1决定了一组新B样条基Ni,k1(t),i=0,1,...,n+1N_{i,k}^1(t),i=0,1,...,n+1Ni,k1(t),i=0,1,...,n+1。原始的曲线可用这组新的B样条基与未知新顶点 Pi1P_i^1Pi1表示

未知新顶点的计算公式(Boehm)

算法过程

B样条曲线的优点

优点：

可以是贝塞尔曲线；满足贝塞尔曲线有的所有重要性质；提供了比贝塞尔曲线更灵活的控制

曲线的次数与控制点数目是分开的，可使用更低次曲线而仍然保持很多控制点；

可以改变一个控制点位置而不会全局地改变整个曲线形状；

还有其他设计和编辑形状的技术比如改变节点。

B样条曲线仍然是多项式曲线，而多项式曲线不能表示许多有用的简单的曲线比如圆和椭圆。

B样条曲面