计算机图形学 第5章 三维图形生成和变换技术

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第五章 目录第五章 三维图形生成和变换技术 5.1 三维图形的概念 5.2 自由曲面的生成 5.3 三维图形的变换 5.4 三维图形剪裁和消隐 1第五章 三维图形生成和变换技术 5.1 三维图形的概念 在第二章我们已讨论过坐标系统的世界坐标系、规 范坐标系和设备坐标系三种坐标系。坐标系统确定之后 ，需要使用不同的绘图元素来描述图形，它们是点、直 线、曲线和其他基本的图形元素。 第五章 三维图形生成和变换技术 5.1 三维图形的概念 5.2 自由曲面的生成 5.3 三维图形变换 5.4 三维图形剪裁和消隐技术 2 在计算机图形学研究中，三维图形概念有几种:1、是采用线框图构成的三维图形，这是最基本、最简单的，它实际上是在二维屏幕上展示的具有三维视觉效果的图形；2、三维实体图形，它是采用各种颜色图案、纹理等填充过的图形，在视觉上也具有三维效果；3、三维立体图形，它借助于光照、浓淡和明暗技术，产生了真正的三维立体效果。这些三维图形都是我们在计算机图形学中要研究和予以实现的内容。 3 三维图形的应用可以根据所处理的图形是一个真实的物体，还是一个设计的新物体类型来分类。我们可以通过对一个三维空间物体进行近似的描述，采用该描述数据构造相应的三维图形。例如，将立方体图形描述成线框结构或者平面集合，或者说明成曲线、曲面表示等,也可以通过构造和变换产生新的图形和物体，以组成新的三维空间形状，这在计算机和辅助设计中应用很广。例如，汽车和飞机的主体就是通过表面图形的各种拼接及安排。直至达到某些设计指标。无论何种应用，三维立体图形的描述都是在一个世界坐标系统中予以说明，然后再映射到显示器或其它输出设备的二维坐标系统上。 4 5.2 自由曲面的生成 一、概述 在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展 之前，一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、 船舶、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传 统的处理办法是用一组或几组平行平面去裁这个曲面， 画出几组截交线来表示这个曲面。例如船体就是用互相 正交的三组平面截得的纵剖线，横剖线和水平线表示； 地面则是用一组水平面截得等高线表示的。这实际上是 把曲面问题转化成了曲线问题。这种处理办法可称为曲 线网格表示第法五。章 三维图形生成和变换技术 5.1 三维图形的概念 一组等高线 5.2 自由曲面的生成 表示地面 5.3 三维图形变换 5.4 三维图形剪裁和消隐技术 5 正是利用这些曲线网格来近似地表示自由曲面，因此，在产生一张曲面时，我们可以利用一系列的纵横交错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如图所示。 我们如何确定这张曲面上任意一点位置呢？很明显，如果这点恰好落在某一条网格线上，如图A点，那么就可以根据这条网格线函数表示来计算这一点位置(坐标)；若这一点不在任何网格线上，如图5.1中的B点，那么就无法计算出该点精确位置，只能用离该点最近一条网格线上的点近似地表示。 图5.1 曲面的网格表示 6 这使得本来精度不很高近似曲面在这一点精度更加降低，所以用这种方法来产生曲面只适合于一部分精度要求不太高场合，我们可以把平面里自由曲线生成方法加以推广，借助于曲面的解析表达式来处理有关曲面问题。 曲面的种类繁多，为便于讨论，将曲面分为两类，(1)规则曲面：如柱、锥、椭球、环、双曲面、抛物面等，它可以用参数方程解析地描述。(2)不规则曲面、如Coons曲面、Bezier曲面、B样条曲面等，这是构造某种曲面方程问题，也是下面要讨论重点。 7二、空间曲面的参数表示 在三维空间内一张任意曲面一段用两个参数曲面矢量 方程或参数方程表示，可以写成， r(u,v) ? [x(u,v), y(u,v),z(u,v)] (5?1) ?x ? x(u,v) ? u ? u ? u 或?y ? y(u,v) 0 1 ? ? ? v0 v v1 ?z ? z(u,v)式中u、v为参数 8曲面的图形如图所示，曲面有两族参数曲线，或称坐标曲线，通常简称u线和v线。当u=ui时，代人式(5–1)得 r(ui ,v) ? [x(ui ,v), y(ui ,v),z(ui ,v)上式中是曲面上一条参数曲线r(ui,v)，即一条v线。当v=vj时，代人式(5–1)得, r(u,v j ) ? [x(u,v j ), y(u,v j ),z(u,v j )上式则是另一条参数曲线r(u,vj)，或称u线。上述两条参数曲线r(ui,v)和r(u,vj)的交点则是r(ui, vj) 。事实上，用u= ui,v=vj代人式(5．l)也得到曲面上同一点位置矢量r(ui,vj) r(ui ,v j ) ? [x(ui ,v j ), y(ui ,v j ),z(ui ,v j )] 9 r(ui,v) r(ui,vj) r(u,vj)v u 10例如，如图的平面片方程为： r(u,v) ? r0 ? au? bv (o ?? u,v ?? 1)式中矢量r0为平面上一点的位置矢量，a和b为常矢量，且a不平行于b，该平面片是由矢量a和b张成的四边形。 r(u,v) 11又例如，如图5.4所示，以固定方向长度为a的直线段作为母线沿给定一条空间曲线r1 (u)移动生成一个柱面，其方程为 ( r(u,v) ? r1 u)? av (o ?? u,v ?? 1)式中a是沿母线方向的常矢量。 a r1(u) 图5.4 柱面 12 二、Bezier(贝塞尔)曲面 如前所述，Bezier曲线是一条与控制多边形顶点位 置有严格的相关联关系的曲线，Bezier曲线形状趋向于 特征多边形形状，阶次由控制多边形顶点个数来决定。由四个数据点 P2控制的三次贝 P1塞尔曲线 P3 P0 B e z i e r 曲 面 是 由 B e z i e r 曲 线 拓 广 而 来 ， 它 也 是 以 Bernstein函数作为基函数，可以构造由空间点阵列的 位置来控制曲面。 131、贝塞尔曲面的数学表达式 在三维空间里，给定(n＋l)×(m+1)个点的空间点到Pij(i=0，l…n；j=0，1…m)，称n×m次参数曲面： n m P(u,v) ? ?? Pij Bi，n (u)B j，m (v) (0 ?? u,v ?? 1) i?0 j?0为 n×m 次 Bezier曲面。 Pij是的控制顶点，和为Bernstein基函数，具体表示为： i i n?i Bi，n (u) ? Cnu (1 ? u) j j m? j B j，m (v) ? Cmv (1 ? v) 14 如果用一系列直线段将相邻的点Pi0，Pi1…Pim(i=0， 1…n)和P0j，P1j…Pnj(j=0，l，…m)—一连接起来组成 一张空间网格，称这张网络为m×n次曲面特征网格，如 图所示。 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P(u,v)的 大致形状；P(u,v)是对特征网格的逼近。 p p p33 03 13 p233*3次的特征曲面网格 p02 p p32 12 p22 p 01 p p31 11 p21 p p p 00 p10 20 30 152、贝塞尔曲面的性质 Bezier曲面有类似于Bezier曲线的性质。 (l)端点位置由于 P00=P(0,0) P0m=P(0,1) Pn0=P(1,0) Pnm=P(1,1)说明P00、P0m、Pn0、Pnm是曲面P(u,v)的四个端点，见图 p33 关 键 词： 计算机图形学第5章三维图形生成和变换技术

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