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【XJTUSE计算机图形学】第三章几何造型技术(1)——参数曲线和曲面
- 参数曲线和曲面
- - 曲线曲面参数表示
  - - 非参数表示
    - 参数表示
  - 曲线的基本概念
  - 插值、拟合和光顺(掌握概念)
  - 参数化
  - - 概念
    - 参数化常用方法
    - 参数区间的规格化
  - 参数曲线的代数和几何形式(了解一下)
  - - 代数形式
    - 几何形式
  - 连续性
  - - 引进几何连续的重要性
    - 举例说明
  - 参数曲面基本概念

【XJTUSE计算机图形学】第三章几何造型技术(1)——参数曲线和曲面

几何造型技术

研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术；

70年代，已有不少实用化系统；

已应用于航空航天、汽车、机械、造船、建筑和电子等领域。

描述物体的三维模型: 线框模型、曲面模型、实体模型。

线框模型: 利用形体的顶点和棱边来表示物体。

曲面模型：通过有向棱边构成形体的表面，用面的几何表达相应的形体。

实体模型：定义一些基本体素，并通过集合运算将它们组合成复杂的几何形体。

参数曲线和曲面

曲线曲面参数表示

非参数表示

显式表示:y=f(x)，无法表示封闭或多值曲线，如圆。

隐式表示:f(x,y)=0，易于判断函数值与零的关系，确定点与曲线的关系。

存在下述问题：

与坐标轴相关；

会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)。

参数表示

参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数

平面曲线上任一点P: P(t)=[x(t),y(t)]P(t)=[x(t),y(t)]P(t)=[x(t),y(t)]

空间曲线上任一三维点P: P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

参数表示例子：

直线：P(t)=P1+(P2−P1)tP(t)=P_1+(P_2-P_1)tP(t)=P1+(P2−P1)t

圆：P(t)=[1−t21+t2,2t1+t2]P(t)=[\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}]P(t)=[1+t21−t2,1+t22t]

参数表示的优点：

满足几何不变性的要求；
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；
对参数方程进行几何变换即实现对曲线(面)的变换；
便于处理斜率为无穷大的情形；
参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，且对变量个数不限，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；
规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，不必用另外的参数去定义边界；
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

曲线的基本概念

1️⃣ 三维曲线

用参数表示的三维曲线是一个有界的点集，可以表示成一个带参数的、连续的和单值的数学函数：
{x=x(t)y=y(t),0≤t≤1z=z(t)\left\{ \begin{array}{lc} x=x(t) \\ y=y(t),\quad 0\le t\le 1\\ z=z(t) \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t),0≤t≤1z=z(t)

2️⃣ 位置矢量

曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

如存在k阶导数矢量，则：Pk(t)=dkPdtkP^k(t)=\frac{d^kP}{dt^k}Pk(t)=dtkdkP

3️⃣ 切矢量

选择弧长s作为参数，则 $T=\frac{dP}{ds}=\underset{\Delta s \to0}{\lim}\frac{\Delta P}{\Delta s} $ 是单位切矢量

根据弧长微分公式有：

于是有 dPds=dPdt.dtds=P′(t)∣P′(t)∣\frac{dP}{ds}=\frac{dP}{dt}.\frac{dt}{ds}=\frac{P'(t)}{|P'(t)|}dsdP=dtdP.dsdt=∣P′(t)∣P′(t)

即T 为单位矢量

4️⃣ 法矢量

所有垂直于切矢量T 的矢量有一束，且位于法平面上

dTds\frac{dT}{ds}dsdT是与T垂直的矢量；与dTds\frac{dT}{ds}dsdT平行的法矢称为曲线在该点的主法矢(N)

矢量积 B=T×NB=T\times NB=T×N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量；

可以推导出：

T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；

N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。

5️⃣ 曲率和挠率

圆的半径越小，曲率越大

插值、拟合和光顺(掌握概念)

1️⃣ 插值: 给定一组有序的数据点Pi构造一条曲线顺序通过这些数据点，所构造的曲线称为插值曲线。

线性插值：y=ax+by=ax+by=ax+b

抛物线插值：φ(x)=ax2+bx+c\varphi(x)=ax^2+bx+cφ(x)=ax2+bx+c

2️⃣ 拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为拟合曲线。

3️⃣ 逼近:在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义

包含插值和拟合

4️⃣ 过拟合：模型在训练集上效果很好，在测试集上效果差(不考)

5️⃣ 光顺(Fairing)：指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：

a. 具有二阶几何连续性(G2)

b. 不存在多余拐点和奇异点；

c. 曲率变化较小。

参数化

概念

过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条：

对应地参数t, 在[0,1]区间中有无数种取法；

参数值称为节点(knot)。

对于一条插值曲线，型值点P0,P1,...,PnP_0,P_1,...,P_nP0,P1,...,Pn与其参数域t∈[t0,tn]t\in[t_0,t_n]t∈[t0,tn]内的节点之间有一种对应关系：

对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之为这组型值点的参数化。

参数化常用方法

1️⃣ 均匀参数化(等距参数化)；

节点在参数轴上呈等距分布, ti+1=ti+正常数t_{i+1}=t_i+正常数ti+1=ti+正常数。

2️⃣ 累加弦长参数化；

反映型值点按弦长的分布情况；

能克服均匀参数化所出现的问题。

3️⃣ 向心参数化法；

4️⃣ 修正弦长参数化法。

参数区间的规格化

我们通常将参数区间[t0,tn][t_0,t_n][t0,tn]规格化为[0,1]，[t0,tn]≠[0,1][t_0,t_n]\not = [0,1][t0,tn]=[0,1]，只需对参数化区间作如下处理：
t0=0,ti=titn,i=0,1,...,nt_0=0,\ t_i=\frac{t_i}{t_n},\ i=0,1,...,n t0=0, ti=tnti, i=0,1,...,n

参数曲线的代数和几何形式(了解一下)

以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式

代数形式

上述代数式写成矢量式是

几何形式

对三次参数曲线，可用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P¢(0)、P‘(1)描述。

将P(0)、P(1)、P’(0)和P‘(1)简记为P0、P1、P‘0和P’1，代入

，得

令

简化为

上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式

•几何系数：$ P_0、P_1、P’_0和P’_1$

•调和系数：F0、F1、G0、G1F_0、F_1、G_0、G_1F0、F1、G0、G1

参数F0,F1F_0,F_1F0,F1专门控制端点的函数值对曲线的影响；

参数G0,G1G_0,G_1G0,G1专门控制端点的一阶导数值对曲线的影响。

连续性

设计制造时，组合多段曲线，因此需要解决曲线段之间的光滑连接问题。

曲线间连接的光滑度的度量(会考概念)

参数连续性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，称为n阶参数连续性CnC^nCn

几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于CnC^nCn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性GnG^nGn。

介于n-1阶参数连续性和n阶参数连续性之间

同阶参数连续性的要求比几何连续性高

引进几何连续的重要性