传统艺能，又来搞傅立叶变换。
在短时傅立叶变换只有离散的一些频率，变换之后的频谱分布有哪些规律呢？

解释对称性

上公式，N是时间域的窗口采样数（即数组长度）
正变换
F(k)=∑n=0N−1f(n)∗e−i2πnkNF(k) = \sum_{n=0}^{N-1}f(n)*e^{-i\frac{2\pi nk}{N}} F(k)=n=0∑N−1f(n)∗e−iN2πnk
周期性
WNn(k+N)=e−i2πn(k+N)N=e−i2πnkN∗e−i2πn=WNnkF(k)=F(k+N)W_{N}^{n(k+N)} = e^{-i\frac{2\pi n(k+N)}{N}} = e^{-i\frac{2\pi nk}{N}} * e^{-i2\pi n} = W_{N}^{nk} \\ F(k) = F(k+N) WNn(k+N)=e−iN2πn(k+N)=e−iN2πnk∗e−i2πn=WNnkF(k)=F(k+N)
周期性说明离散频谱的数量是有限的，或者说是有最小周期分辨率的。而这个数量是由时域的采样窗长度N决定的。

共轭性不讨论。
半对称性，当k在前半窗时：
F(N−k)=∑n=0N−1f(n)∗e−i2πn(N−k)N=∑n=0N−1f(n)∗e−i2πn(−k)N∗e−i2πn=∑n=0N−1f(n)∗e−i2πn(−k)NF(N-k) = \sum_{n=0}^{N-1}f(n)*e^{-i\frac{2\pi n(N-k)}{N}} \\ = \sum_{n=0}^{N-1}f(n)*e^{-i\frac{2\pi n(-k)}{N}}*e^{-i2\pi n} \\ = \sum_{n=0}^{N-1}f(n)*e^{-i\frac{2\pi n(-k)}{N}} F(N−k)=n=0∑N−1f(n)∗e−iN2πn(N−k)=n=0∑N−1f(n)∗e−iN2πn(−k)∗e−i2πn=n=0∑N−1f(n)∗e−iN2πn(−k)
欧拉公式
eix=cos(x)+i∗sin(x)e−i2πn(−k)N=cos(2πnkN)+i∗sin(2πnkN)e−i2πnkN=cos(2πnkN)−i∗sin(2πnkN)e^{ix} = cos(x) + i*sin(x) \\ e^{-i\frac{2\pi n(-k)}{N}} = cos(\frac{2\pi nk}{N}) + i*sin(\frac{2\pi nk}{N}) \\ e^{-i\frac{2\pi nk}{N}} = cos(\frac{2\pi nk}{N}) - i*sin(\frac{2\pi nk}{N}) eix=cos(x)+i∗sin(x)e−iN2πn(−k)=cos(N2πnk)+i∗sin(N2πnk)e−iN2πnk=cos(N2πnk)−i∗sin(N2πnk)
则可以对比
F(k)=∑n=0N−1f(n)∗cos(2πnkN)−i∗∑n=0N−1f(n)∗sin(2πnkN)F(N−k)=∑n=0N−1f(n)∗cos(2πnkN)+i∗∑n=0N−1f(n)∗sin(2πnkN)0<=k<=N/2F(k) = \sum_{n=0}^{N-1}f(n)*cos(\frac{2\pi nk}{N}) - i*\sum_{n=0}^{N-1}f(n)*sin(\frac{2\pi nk}{N}) \\ F(N-k) =\sum_{n=0}^{N-1}f(n)*cos(\frac{2\pi nk}{N}) + i*\sum_{n=0}^{N-1}f(n)*sin(\frac{2\pi nk}{N}) \\ 0<= k <= N/2 F(k)=n=0∑N−1f(n)∗cos(N2πnk)−i∗n=0∑N−1f(n)∗sin(N2πnk)F(N−k)=n=0∑N−1f(n)∗cos(N2πnk)+i∗n=0∑N−1f(n)∗sin(N2πnk)0<=k<=N/2
变换结果的前半窗和后半窗的实部相等，虚部大小相反。换言之，存储频谱的时候只需要前一半的长度即可。
还有一点就是，正常变换频谱前后各有一半能量，修改频谱的时候，要对称着修改才自然。(虽然把能量集中到一个上也能成功)

频率单位计算

从上面可以得知，基频只能到N/2
ω=2πkN=2πTT=Nkf=kN,k=0,1,2...,N/2−1\omega = \dfrac{2\pi k}{N} \\ = \dfrac{2\pi }{T} \\ T = \dfrac{N }{k} \\ f = \dfrac{k }{N}\\ ,k=0,1,2...,N/2-1 ω=N2πk=T2πT=kNf=Nk,k=0,1,2...,N/2−1
显然，k=0的时候，周期是∞\infty∞，频率是0，就是底音强度。
频谱散列，假设每格代表的时长是t秒，
0,1N∗t,2N∗t，...,0,N/2N∗t.0,\dfrac{1 }{N*t},\dfrac{2 }{N*t}，...,0,\dfrac{N/2 }{N*t}. 0,N∗t1,N∗t2，...,0,N∗tN/2.
例如16K 10ms的窗，频谱为:
0,10.01,20.01，...,0,800.01.=0,100,200,...,8000Hz0,\dfrac{1 }{0.01},\dfrac{2 }{0.01}，...,0,\dfrac{80 }{0.01}.\\ = 0,100,200,...,8000Hz 0,0.011,0.012，...,0,0.0180.=0,100,200,...,8000Hz

k =1,k = 2的基频，即100Hz和200Hz。

频谱以百Hz为单位变化的话，在低频部分会相对不够细致。一个方法是加大采样宽度，当N=320时，20ms时
0,10.02,20.02，30.02，...,0,1600.02.=0,50,100,150，...,8000Hz0,\dfrac{1 }{0.02},\dfrac{2 }{0.02}，\dfrac{3 }{0.02}，...,0,\dfrac{160 }{0.02}.\\ = 0,50,100,150，...,8000Hz 0,0.021,0.022，0.023，...,0,0.02160.=0,50,100,150，...,8000Hz
看出来上限都是8000Hz，而采样率是16000Hz，这也满足奈奎斯特采样定律。

逆变换

f[n]=∑k=0N−1F[k]∗ej∗2πknN=∑k=0N/2−1[(F[k].r+j∗F[k].i)(cos(2πknN)+j∗sin(2πknN))+(F[N−k].r+j∗F[N−k].i)(cos(2π(N−k)nN)+j∗sin(2π(N−k)nN))]对称性：=∑k=0N/2−1[(F[k].r+j∗F[k].i)(cos(2πknN)+j∗sin(2πknN))+(F[k].r−j∗F[k].i)(cos(2πknN)−j∗sin(2πknN))]=∑k=0N/2−1[(2∗F[k].r∗cos(2πknN)−2∗F[k].i∗sin(2πknN))]=∑k=0N/2−12A[k]∗cos(2πknN−θ[k])f[n] = \sum_{k=0}^{N-1} F[k]*e^{j*\frac{2\pi kn}{N}} \\ = \sum_{k=0}^{N/2 -1}[ (F[k].r + j*F[k].i)(cos(\frac{2\pi kn}{N}) +j*sin(\frac{2\pi kn}{N})) + \\ (F[N-k].r + j*F[N-k].i)(cos(\frac{2\pi (N-k)n}{N}) +j*sin(\frac{2\pi (N-k)n}{N}))] \\ 对称性：\\ = \sum_{k=0}^{N/2 -1}[ (F[k].r + j*F[k].i)(cos(\frac{2\pi kn}{N}) +j*sin(\frac{2\pi kn}{N})) + \\ (F[k].r - j*F[k].i)(cos(\frac{2\pi kn}{N}) - j*sin(\frac{2\pi kn}{N}))] \\ = \sum_{k=0}^{N/2 -1}[ (2*F[k].r * cos(\frac{2\pi kn}{N}) - 2*F[k].i *sin(\frac{2\pi kn}{N})) ] \\ = \sum_{k=0}^{N/2 -1}2A[k] * cos(\frac{2\pi kn}{N} - \theta[k]) f[n]=k=0∑N−1F[k]∗ej∗N2πkn=k=0∑N/2−1[(F[k].r+j∗F[k].i)(cos(N2πkn)+j∗sin(N2πkn))+(F[N−k].r+j∗F[N−k].i)(cos(N2π(N−k)n)+j∗sin(N2π(N−k)n))]对称性：=k=0∑N/2−1[(F[k].r+j∗F[k].i)(cos(N2πkn)+j∗sin(N2πkn))+(F[k].r−j∗F[k].i)(cos(N2πkn)−j∗sin(N2πkn))]=k=0∑N/2−1[(2∗F[k].r∗cos(N2πkn)−2∗F[k].i∗sin(N2πkn))]=k=0∑N/2−12A[k]∗cos(N2πkn−θ[k])
A[k]A[k]A[k]是频谱复平面模长，θ[k]\theta[k]θ[k]是复平面向量和x轴夹角（相位角），可以看出频域复平面的模长影响时域的实际能量，复平面相位角影响时域实际相位。

可以看出频谱的虚部和实部同时影响逆变换的效果。
逆变换之后理论时虚部为0，只有实部。

如果想只改变频谱中某分量的相位，则需要计算模长和角度之后，重新计算新相位；
只改变强度，则重新计算模长

第一基频移动 π\piπ

第一基频强度提升5倍
核心代码

         real = (spec0_copy[1].real**2 + spec0_copy[1].imag**2)**0.5angle = np.arcsin(spec0_copy[1].imag/real) # [-pi/2,pi/2]real *= 5 # 修改实部或虚部angle += np.piprint(real,angle)spec0_copy[1] = complex(real*np.cos(angle), real*np.sin(angle)) #相位需要保持不变spec0_copy[-1] = complex(real*np.cos(angle), -real*np.sin(angle)) #相位需要保持不变rec_sig0_copy = np.fft.ifft(spec0_copy) # 逆变换

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