傅立叶变换,时域,频域一
时域
频域
时域与频域的互相转换
傅立叶变换 原理
傅立叶变换 分类
傅立叶级数的五个公式(周期性函数)
傅立叶积分(非周期性函数)
振幅谱和相位谱的关系
功率谱
傅立叶变换推导出:时移原理与频移原理,对偶性质
时间-频率 间的对应关系。
对应关系1:时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与 频谱 呈正比关系
对应关系2,时间周期T 与 频谱 :呈反比关系
对应关系3:脉冲宽度 与 频谱:呈反比关系
用脉冲宽度 定义带宽
频谱、幅度谱、相位谱、功率谱 与 周期性函数的频谱
周期函数、非周期函数的频谱总结,与对称频谱的意义
离散傅立叶变换与抽样:时域的抽样点数与频域点数的关系
傅立叶变换与正交性
傅立叶变换的 思想总结与优点
时域 的物理意义
频域 的物理意义
1,频域 的物理意义
2,傅立叶变换与谐波
3,傅立叶反变换与谐波叠加
4,带宽与时钟频率、脉冲宽度
关键技术点解释
1,IFFT反变换后各谐波如何叠加在一起?
2,什么是正交?正交的条件是什么?傅立叶变换后的谐波为什么一定是正交的?傅立叶反变换之前的频谱要满足什么条件?
3,为什么说时域上波形急剧变化,频域上就有很高的频率分量
4, 频域中幅值 与时域中的幅值 有什么关系?
5,采样
傅立叶变换的缺点
原则上时域中只有一个信号波(时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数,时域中只有周期的概念),而对应频域(纯数学概念)则有多个频率分量。
人们很容易认识到自己生活在 时域与空间域 之中(加起来构成了三维空间),所以比较好理解 时域的波形(其参数有:符号周期、时钟频率、幅值、相位 )、空间域的多径信号也比较好理解。
但数学告诉我们,自己生活在N维空间之中,频域就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中,频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期(它们取值不同,可以表示不同的符号,所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。
所以:OFDM中,IFFT把频域转时域的原因是:IFFT的输入是多个频率抽样点(即 各子信道的符号),而IFFT之后只有一个波形,其中即OFDM符号,只有一个周期。
时域
频域
图2.2 理想RLC电路相互作用的时域行为
2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号;
3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到;
载波的功能参见 调制解调 部分内容。这里可以先不理解何为载波,关键是时域与频域的对应关系。
以这个时域波形为例
引入频域后,带来一个新的数据:频谱效率,作为 频域的传输效率。如 80bps/Hz 指1Hz频率上能传输80bps数据。
非周期性连续信号 傅立叶变换(Fourier Transform)
非周期性离散信号 离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform)
周期性离散信号 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) -DFT
下图是四种原信号图例:
但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示,这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。
每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法,对于实数方法是最好理解的,但是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT),再去理解复数傅立叶就更容易了,所以我们先把复数的傅立叶放到一边去,先来理解实数傅立叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。
还有,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
傅立叶(19世纪的法国人)认为:任何周期函数f(t)总是可以变成下面的傅立叶级数 (傅立叶公式1)
2,两个相同函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为2Pi或pi.
Cn是复数,定义为
从上面的 复指数傅立叶级数公式 中,可以直接得到各子频率分量对应正弦波(谐波)的振幅 和相位。
这里给出了五种 傅立叶级数f(t)的表示方式,它们都是等价的,并可互相推导出来。
考虑一个周期函数f(t),用傅立叶级数表示。
其频谱图如下,
其相邻各谐波频率之间间隔为
所以这个f(t)可以写为,将△W代入原f(t)公式而得。
当T->无穷大时,,而Wn也->0,所以 频谱会由 离散频率点 变为连续频谱。则Cn作为谐波Wk的幅值也会变为连续函数F(w)
F(w)与f(t)的计算公式 看起来很像,甚至可以互相调换f(t)与F(w).
由F(w)公式得出时域信号f(t)的频率分量。频率、频谱 从本质上说是某种数学抽象。
F(w)是频率的复函数。F(w)也可分解为振幅谱和相位谱。
从电路分析可知,如
代表1欧电阻上的电压,则在此电阻内损耗的平均功率为(An2+Bn2)/2 瓦。
所以振幅频谱的平方就是不同频率上(n=0,1,2...)1欧电阻内所损耗功率的测量。
各个频率上的功率相加,就得到周期性电压加到电阻上的平均损耗功率。
如果F(w)的角频率移动了W0弧度/秒,则f(t)要乘上 ,即:
基带信号(带有信息)f(t)对载波信号CosW0t的调幅结果(即已调制信号),可表示为
f0=W0/2pi,为时域载波信号的频率
已调制信号的傅立叶变换结果为:
即:调制之后,f(t)的频谱被移动了,
下面是一个调幅信号在一个周期内波形的例子,振幅的变化代表了传送的信息。
所以:较快速的变化相当于较高频率的变动。
函数 sinx/x 的形状如下
时间函数比较快速的变化则相当于比较高的频率分量:周期T减少,则频谱变大(因为 △f=2pi/T 变大)
由于集中在低频区的谱线有较高的幅度,所以这个周期波所具有能量的大部分都分布在较低的频率分量上。
因此,在 脉冲宽度或持续时间 与脉冲的频率展布 之间,有反比关系存在。
如 (即很窄的脉冲),则大部分信号能量将落在下式的范围内:
这个点也当作信号的带宽。
幅度谱就是复频谱取幅度后得到的幅度与频率之间的关系曲线;
相位谱就是复频谱取出相位后得到的相位与频率之间的关系曲线;
功率谱就是功率与频率之间的关系曲线。
一次谐波分量W1:周期是基波分量周期的1/2,频率是基波频率的2倍。
二次谐波分量W2:周期是基波分量周期的1/3,频率是基波频率的3倍。
在复杂的周期性振荡中,包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等的正弦波分量称为基波。
周期为T 的信号中有大量正弦波,其频率分别为1/T Hz、2/T Hz、…、 n/THz,称频率为 1/THz的正弦波为“基波”,频率为等 n/THz(n≠1)的正弦波为n次“谐波”。
解释: 基波谐波 来自于 原时域信号的频谱中各频率点的频率、相位 在时域中体现为各正弦波,它们叠加在一起形成了原时域信号。
圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω,虽然单位相同且都有ω = 2π/T的相同形式,但它们并不是同一个物理量。
周期函数的频谱是离散的。它的频率是一个不连续的离散值。因为频谱函数Cn的公式由傅立叶级数公式(实际上是一个三角函数级数)推导出,其中的n=0,1,2...,n是整数,那么Wn=W1,W2,W3..Wn也是离散值。
非周期函数的频谱是连续的。由于频谱函数F(W)的公式由傅立叶积分推导出,根据积分的定义,所以:其中的W是连续变化的。
这说明 非周期函数 的频率成分比 周期函数 的频率成分丰富。傅立叶级数、傅立叶积分 可以取出两种函数的不同频率成分及其幅值。
奈奎斯特定理已经证明。 为了从抽样信号中无失真的再现原信号,当原信号(为频带有限的模拟信号)带宽为BHz时,最小抽样速率,应该为每秒2B个样值。即抽样时间间隔=1/2B秒。这些样值包含了原信号的全部信息。
具体证明过程如下:
1,原信号转换成抽样点时,即抽样速率为多少
设周期脉冲信号为S(t),脉冲幅度为1,宽度为τ,周期T=1/f0
则抽样后信号为fs(t)=f(t)S(t)。
f(t),S(t)都可以展开成傅立叶级数(公式1),根据傅立叶频谱搬移原理, 可以得到fs(t)的傅立叶变换为
每一项的中心位于抽样频率的倍数点上。所以:对f(t)抽样的效果是使其频谱搬移到抽样频率的所有谐波上。频谱沿原先的频率线对称的分布。
而对于非周期函数f(t)抽样,也有类似效果。
这种因抽样间隔太宽而引起频谱重叠并导致失真的现象称为混淆。
而开始相混的极限频率,可从上图中看出f0-B=B,即f0=2B。
这就是 奈奎斯特抽样速率。
注:抽样点可以是 非周期性 的取得,比如每隔几秒开始抽样也可以。
已证明:每秒任何2B个独立样值就可完全表示一个频带有限的信号。或:完全规定一个T秒长间隔上的信号,只需要任何2BT个单独的(独立的)信息样值。
设T秒时间上频带有限信号为f(t),(即非周期信号),它可以展开成以T为周期的傅立叶级数,由于频带有限,则傅立叶级数中的项数是有限的,即谐波是有限的,也即频谱中频率点是有限的。
由于 ,因为B是f(t)的最高频率分量,则Wn=2piB(当n最大时),此时2piB=2pi*n/T,得出n=BT
所以:n的最大值是BT。
基波C0是直流项,仅改变f(t)的平均电平,不提供任何信息(因为信息表示信号随时间的变化)。
由于频谱的对称性,所以傅立叶系数共有2BT个,即频谱上的频率分量共有2BT个。
即:如何从2BT个样值中恢复原信号f(t)。
所以,连续信号f(t)先抽样,再FFT,然后再IFFT可以得到原时域信号f(t)。
即:N个采样点,经过FFT之后,频谱上得到N个频率点的幅值,反变换到时域得到连续函数f(t)。
比如:原信号带宽500Hz,时域的采样频率则应为1024Hz(则1秒内得到的采样点为1024个),那么根据采样点变换到频域后最大带宽应该为1024(解释:因为发生了频谱搬移。)
1秒时间的采样,得到1024个采样点,FFT变换到频域后得到1024个频率点,横坐标的频率的最大值是采样频率1024Hz,从小到大分别是:0Hz,1Hz,2Hz....1024Hz。
而2秒时间的采样,得到2048个采样点,FFT变换到频域后得到2048个采样点,横坐标的频率的最大值仍是采样频率1024Hz,从小到大分别是:0Hz,0.5Hz,1Hz,1.5Hz,2Hz...1024Hz。频率点之间的间隔是0.5hz。因为,最大带宽W与采样时间无关,总是恒定值,当频谱上频率点n的次数增加时,频率点之间间隔只能缩短。
所以:在采样率确定的情况下:采样时间越长,频域的频率点越多,即频率分辨率(即:两个频率点之间的间隔)越高。恢复到时域后谐波更多。
结论:频域频率分辨率要精确到xHz,则需要采样长度为1/x秒的信号,再做FFT变换到频域。
实际应用中,对实时处理的要求较高,可采用:采样比较短时间的信号,然后在后面补充一定量的0作为采样点,使其长度达到需要的点数。这也可以提高频率分辨率。
如果想用时分复用的方式来同时传送多路信号,在每路信号的抽样间隔中,可以用来传送其它信号的抽样点。
傅立叶变换与正交性
傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
解释:时域上原信号波形,看起来频率是固定的,但实际上信号波形只表达了二维空间,而在 三维空间 中,还有一个轴是频率轴,所以 在频率轴上每个点都有一个对应的时域谐波信号)。
解释:一般可以这样看:时域没有频率,只有周期与时钟频率。频域没有周期,只有频率。
傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号分别进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
傅立叶的优点是:
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
* 线性性质:两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和
* 频移性质(见下)
* 微分关系:原函数及其导函数的傅立叶变换间的关系。
* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
数学上任何相乘=1的东西都是互相垂直,也叫正交
所以时域坐标想象成立方体的一个面,那么频域坐标系一定是其相邻垂直的另一个面.
换个说法,任何一个时域里的周期函数f(t),可以拆分得到一系列sin跟cos的叠加
- 那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出一组信号其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,
- 不过如果信号是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换的物理意义非常清晰:将通常在时域表示的信号,分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱,频谱包括幅度谱和相位谱,分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。
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